صفر (آنالیز مختلط)

عدد مختلط a یک صفر ساده (ریشه ساده) از f یا یک صفر با تکرار 1 از f است اگر بتوان f‌را به صورت

${\displaystyle f(z)=(z-a)g(z)\,}$

نوشت که در آن g‌یک تابع هولومورفیک است که g(a) صفر نیست. به طور کلی تکرار ریشهٔ f در a عدد صحیح مثبت n است که برای آن تابعی هولومورفیک مانند g وجود دارد که

${\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z)\ {\mbox{and}}\ g(a)\neq 0.\,}$

قضیه اساسی جبر می‌گوید که هر چند جمله‌ای غیر ثابت با ضرایب مختلط حداقل یک صفر در صفحهٔ مختلط دارد. این بر خلاف وضعیت صفرهای حقیقیست : برخی توابع چند جمله‌ای با ضرایب حقیقی هیچ صفر حقیقی‌ای ندارند (ولی چون اعداد حقیقی مختلط‌اند این توابع همچنان ریشه‌های مختلط دارند). یک مثال تابع f(x) = x + 1. است.

یک مشخصهٔ مهم از مجموعهٔ صفرهای یک تابع هولومورفیک این است که یک گوی کوچک حول ریشه وجود دارد که شامل هیچ ریشهٔ دیگری نسیت. همچنین قضایایی در آنالیز مختلط وجود دارند که رابطهٔ بین صفرها(ریشه‌ها)ی یک تابع هولومورفیک (یا مرومورفیک) و خصوصیات دیگر تابع را بیان می‌کنند. به طور خاص فرمول جنسن و قضیهٔ فاکتورگیری وایرشتراس نتایجی هستند برای توابع مختلطی که همتایی در تئابع حقیقی ندارند.

• ریشه (ریاضیات)
• قطب (آنالیز مختلط)
• قضیهٔ هورویتز