سیستم خودگردان (ریاضیات)

سیستم خودگردان سیستمی از معادلات دیفرانسیل معمولی است به این شکل

${\displaystyle \frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))}$

که x مقادیر را در فضای اقلیدسی n بُعدی می‌گیرد؛ t اغلب به عنوان زمان تعبیر می‌شود.

از سیستم معادلات دیفرانسیل شکلی متمایز می‌شود

${\displaystyle \frac{d}{dt}x(t)=g(x(t),t)}$

که در آن قانون حاکم بر تکامل سیستم فقط به وضعیت فعلی سیستم بستگی ندارد بلکه به پارامتر t نیز بستگی دارد، که اغلب به عنوان زمان تفسیر می‌شود؛ چنین سیستم‌هایی بنا به تعریف خودگردان نیستند.

اجازه دهید ${\displaystyle x_1(t)}$

${\displaystyle \frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)),x(0)=x_0}$

.

سپس ${\displaystyle x_2(t)=x_1(t-t_0)}$

${\displaystyle \frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)),x(t_0)=x_0}$

.

در واقع، نمایان‌گر ${\displaystyle s=t-t_0}$

${\displaystyle \frac{d}{dt}{x}_2(t)=\frac{d}{dt}{x}_1(t-t_0)=\frac{d}{ds}{x}_1(s)=f(x_1(s))=f(x_2(t))}$

.

برای این شرایط اولیه، این اثبات بدیهی است،

${\displaystyle x_2(t_0)=x_1(t_0-t_0)=x_1(0)=x_0}$

.

سیستم‌های خودگردان را می‌توان با استفاده از فضای فاز به صورت کیفی تحلیل کرد. در حالت یک متغیره، این خط فاز است.

روش‌های زیر برای معادلات دیفرانسیل خودگردان یک بعدی اعمال می‌شود. هر معادله یک-بُعدی از مرتبه ${\displaystyle n}$

مرتبه اول

معادله خودگردان مرتبه اول

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)}$

جداشدنی است، بنابراین با مرتب‌سازی مجدد در فرم انتگرالی به راحتی قابل حل است

${\displaystyle t+C=\int \frac{dx}{f(x)}}$

مرتبه دوم

معادله خودگردان مرتبه دوم

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f(x,x^{\prime })}$

دشوارتر است، اما با معرفی متغیر جدید می‌توان آن را حل کرد

${\displaystyle v=\frac{dx}{dt}}$

و بیان مشتق دوم از ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{dx}}$

به طوری که معادله اصلی شود

${\displaystyle v\frac{dv}{dx}=f(x,v)}$

که یک معادله مرتبه اول است و هیچ اشاره‌ای به متغیر مستقل ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=v(x)\Rightarrow t+C=\int \frac{dx}{v(x)}}$

که یک جواب ضمنی است.

مرتبه‌های بالاتر

هیچ روش مشابهی برای حل معادلات خودگردان درجه سوم یا بالاتر وجود ندارد. چنین معادلاتی را می‌توان دقیقاً حل کرد اگر اتفاقاً ویژگی ساده‌سازی دیگری نیز داشته باشد، به عنوان مثال خطسانی یا وابستگی سمت راست معادله فقط به متغیر وابسته (یعنی مشتقات آن نه). با توجه به این که سیستم‌های خودگردان غیرخطی در سه بعد می‌توانند رفتاری آشوبناک مانند جاذب لورنز و جاذب روسلر ایجاد کنند، تعجب آور نیست.

با این ذهنیت، همچنین تعجب آور نیست که معادلات عمومی غیر خودگردان مرتبه دوم به صراحت حل نشوند، زیرا این‌ها همچنین می‌توانند آشوبناک باشند (نمونه‌ای از این‌ها، آونگ اجباری دوره‌ای است).

مورد چندمتغیره

حالا ما داریم ${\displaystyle X^{\prime }(t)=AX(t),}$

جواب: ${\displaystyle X(t)=e^{At}C}$

• سیستم تغییرناپذیر با زمان
• سیستم غیرخودگردان (ریاضیات)