رویه خط‌دار

منحنی ${\displaystyle c_1}$

گیریم ${\displaystyle c(u)}$

${\displaystyle x(u,v)=c(u)+v\cdot d(u)}$

اگر جهت ${\displaystyle d}$

اگر خط مستقیم ${\displaystyle c_1}$

${\displaystyle x(u,v)=v.cos(f(u)),}$

توابع ${\displaystyle f(u)}$

گیریم دایره ${\displaystyle c_1}$

برای به‌دست آوردن معادلهٔ پارامتریک نوار موبیوس، ابتدا دایرهٔ هادی ${\displaystyle c_1}$

می‌توان در این معادله عبارت ${\displaystyle \frac{u}{2}}$

با وصل کردن نقاط متناظر روی دو منحنی فضایی ${\displaystyle c_1(u)}$

به دلیل آزادی تقریباً کامل در انتخاب منحنی‌های هادی و نمایش پارامتری آن‌ها، این روش گستردگی بسیاری در ایجاد اشکال مختلف دارد.

سهمی‌گون‌های هذلولی خواص استاتیکی مثبتی دارند که در ساخت پوسته‌هایی با دهانهٔ بزرگ و ضخامت کم به‌کار می‌آید و ازین رو عناصری رایج در طراحی معماری هستند.

برای تولید سهمی‌گون هذلولی، دو پاره‌خط مورب ${\displaystyle ab}$

به‌صورت دستی، این کار را به‌راحتی و با تقسیم کردن ${\displaystyle ab}$

${\displaystyle x=(1-v)\cdot p+v\cdot q=(1-v)\cdot [(1-u)\cdot a+u\cdot b]+v\cdot [(1-u)\cdot d+u\cdot c]}$

در نهایت این نمایش را می‌توان به شکل زیر گسترش داد:

${\displaystyle x(u,v)=(1-v)\cdot (1-u)\cdot a+(1-v)\cdot u\cdot b+v\cdot (1-u)\cdot d+v\cdot u\cdot c}$

اگر مقدار پارامتری‌های ${\displaystyle u}$

نمایش پارامتری رویه سهمی‌گون هذلولی نسبت به هر دو پارامتر ${\displaystyle u}$

${\displaystyle x(u,v)=(1-u)\cdot [(1-v)\cdot a+v\cdot d]+u\cdot [(1-v)\cdot b+v\cdot c]}$

اگر ${\displaystyle r(v)=(1-v)\cdot a+v\cdot d}$

همهٔ خط‌های رویه‌ای یک سهمی‌گون هذلولی که متعلق به یک خانواده باشند با یک «صفحهٔ هادی» موازی‌اند. به‌عبارت دقیق‌تر، هر صفحهٔ ${\displaystyle D}$

سهمی‌گون هذلولی تنها یک صفحهٔ مماس دارد که به هر دو خانواده صفحه‌های هادی عمود باشد. نقطه‌ای که در آن این صفحه بر رویه سهمی‌گون هذلولی مماس است «رأس» (${\displaystyle v}$

سهمی‌گون هذلولی را به‌عنوان یک رویه انتقالی هم می‌توان ساخت. برای این کار به دو منحنی (سهمی) نیاز است که می‌توان آن‌ها را با تقاطع رویه با دو صفحه هادی متناظر بدست آورد.

صفحهٔ مماس بر هر نقطهٔ ${\displaystyle p}$

رویه‌های خط‌داری که تنها حامل خطوط مولد قوزکی باشند رویه گسترش‌پذیر نام دارند و سطوحی که اکثر خطوط رویه‌ای آن غیرقوزکی باشند به رویه‌های خط‌دار اریب موسومند. استوانه‌ها، مخروط‌ها، و رویه‌های خط‌داری که شامل مماس‌های منحنی‌های فضایی باشند از رویه‌های گسترش‌پذیرند.

سهمی‌گون‌های هذلولی و هذلولی‌گون‌های یک‌پارچه هر کدام دو خانواده از خط‌های رویه‌ای مستقیم را در خود دارند. هر کدام از این خانواده‌های خطوط رویه‌ای مشترکاً کجند ولی همهٔ خط‌های رویه‌ای خانوادهٔ دیگر را قطع می‌کنند. این رویه‌ها رویه‌های خط‌دار مضاعف خوانده می‌شوند. برای هر نقطهٔ ${\displaystyle x}$

• Weisstein, Eric W. "Ruled Surface". MathWorld.
• Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.