ستاره کلین

اگر مجموعه ی ${\displaystyle {\displaystyle V}}$

تعریف ستاره کلین بر روی ${\displaystyle {\displaystyle V}}$

${\displaystyle {\displaystyle V^{\ast }=\bigcup _{i\ge 0}{V}^i=V^0\cup V^1\cup V^2\cup V^3\cup V^4\cup \cdots .}}$

این به این معنا است که ستاره ی کلین یک عمل یگانی خودتوان است یعنی ${\displaystyle {\displaystyle (V^{\ast }{)}^{\ast }=V^{\ast }}}$

در برخی از مطالعات زبان های صوری (به عنوان مثال تئوری خانواده زبان های انتزاعی) نوعی متفاوت از عملیات ستاره کلین، به نام مثبت کلین استفاده می شود. مثبت کلین عبارت ${\displaystyle {\displaystyle V^0}}$

${\displaystyle {\displaystyle V^{+}=\bigcup _{i\ge 1}{V}^i=V^1\cup V^2\cup V^3\cup \cdots .}}$

یا

.${\displaystyle {\displaystyle V^{+}=V^{\ast }V}}$

مثالی از اعمال ستاره ی کلین بر روی مجموعه ای از رشته ها:

{"ab","c"} = { ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc", ...}.

مثالی از اعمال مثبت کلین بر روی مجموعه ای از کاراکتر ها:

{"a", "b", "c"} = { "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", "ca", "cb", "cc", "aaa", "aab", ...}.

اعمال ستاره ی کلین بر همان مجموعه از کاراکتر ها:

{"a", "b", "c"} = { ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", "ca", "cb", "cc", "aaa", "aab", ...}.

اعمال ستاره ی کلین بر روی مجموعه ی تهی:

∅ = {ε}.

اعمال مثبت کلین بر روی مجموعه ی تهی:

∅ = ∅ ∅ = { } = ∅

که در آن الحاق شرکت‌پذیر و اما دارای خاصیت جابه‌جایی نیست.

اعمال ستاره ی کلین و مثبت کلین بر روی مجموعه ی تک عضوی شامل رشته ی تهی:

اگر ${\displaystyle {\displaystyle V=\{\epsilon \}}}$

رشته هایی از یک مونوئید و الحاق به عنوان عملگر دوتایی و ε به عنوان عضو همانی. ستاره ی کلین نه تنها برای رشته ها بلکه برای هر مونوئیدی تعریف می شود.

به طور دقیق تر،اگر (M, ⋅) یک مونوئید و S ⊆ M، آنگاه S کوچک ترین زیرمونوئیدی از M است که شامل S می باشد. به عبارت دیگر، S شامل عضو خنثی M، مجموعه ی S، به طوری که اگر x,y ∈ S ، آنگاه x⋅y ∈ S.

• الحاق
• جبر کلین