مجموعه (ریاضیات)

اغلب در نوشته‌ها یا صحبت‌های خود کلمه‌هایی را به کار می‌بریم که دسته یا گروهی از اشیا یا موجودات را مشخص می‌کند. در ریاضی این قبیل از کلمه‌ها از واژهٔ مجموعه استفاده می‌کنیم.

به طور کلی یک مجموعه را میتوان اینگونه معرفی نمود:

«دسته ایی از اعداد یا اشياء یا حروف که دوبه دو متمایز وکاملا مشخص اند مجموعه می گویند و هر کدام از اشیاء عضو مجموعه میباشند»

یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر بیان کرد:

• Aمجموعهٔ نخستین ۴ عدد طبیعی است.
• B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.

همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو آکولاد قرار دهیم:

• {۱٬۲٬۳٬۴} = C
• {سبز، سفید، قرمز} = D

البته دو تعریف گوناگون، هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به‌طور مشابه B = D. توجه کنید که در یک مجموعه، جابه‌جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

{۱۱٬۶}={۶٬۱۱}={۶٬۱۱٬۶٬۶}

حال فرض کنید E مجموعهٔ نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگی (که تعداد اعضای آن‌ها زیاد است)، نوشتن همهٔ عناصر مجموعه غیر عملی است؛ بنابراین Eرا به‌طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:

{۱۰۰۰،... ،۱٬۲٬۳} = E

معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-،۳-،۰،... ،۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که «F مجموعهٔ نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست». در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:

F={n^۲–۴: ۰ <= n <= ۱۹}، nЄN

یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲–۴ است به‌طوری‌که n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارند.

• مجموعه اعداد فرد
  {...,O={1,3,5,7
• مجموعه اعداد زوج
  {...,E={0,2,4,6,8
• مجموعه اعداد طبیعی
  ${\displaystyle N=\{1,2,3,...\}}$
• مجموعه اعداد حسابی
  ${\displaystyle W=\{0,1,2,3,...\}}$
• مجموعه اعداد صحیح
  ${\displaystyle Z=\{...,-1,0,1,...\}}$
• مجموعه اعداد گویا
  ${\displaystyle Q=\{\frac{m}{n}|m,n\in Z,n\ne 0\}}$
• مجموعه اعداد گنگ : نمی توان به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت.
• مجموعه اعداد حقیقی
  ${\displaystyle R=Q\cup Q^{\prime }}$

مجموعه اعداد حقیقی برابر با اجتماع مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ میباشد.

• بازه باز

${\displaystyle (a,b)}$

• بازه نیم‌باز

${\displaystyle (a,b],[a,b)}$

• بازه بسته

${\displaystyle [a,b]}$

اگر ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$
2. ${\displaystyle B\subseteq A}$

آنگاه بدان معنی است که:

${\displaystyle A=B}$

متناهی

یعنی اینکه تعداد اعضای مجموعه را به توان به صورت یک عدد حسابی نمایش داد.

مثلاً اعداد زوج تک رقمی:

${\displaystyle \{2,4,6,8\}}$

تعداد اعضا این مجموعه برابر عدد 4 است.

نامتناهی

یعنی اینکه تعداد اعضای مجموعه را نتوان به صورت یک عدد حسابی نمایش داد.

مثلاً بازه ${\displaystyle A=(0,1)}$

• رده
• نظریه مجموعه‌ها
• زیر مجموعه
• نظریه طبیعی مجموعه‌ها
• نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
• مجموعه نامتناهی
• مجموعه تهی
• مجموعه کران‌دار
• مجموعه توانی
• مجموعه مناسب
• رابطه یک به یک

• ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)

• مجموعه، رابطه و تابع با طعم تاریخ ریاضیات؛ نوشته سیدصادق کاظمی پور، محبوبه ذاکری (انگلیسی)