حساب کاربری
​
تغیر مسیر یافته از - رده (ریاضی)
زمان تقریبی مطالعه: 4 دقیقه
لینک کوتاه

رسته (ریاضیات)

یک رسته در ریاضیات، ساختاری جبری است که در آن سازه‌های ریاضی و روابط میان آنها به صورت مجرد بررسی می‌شود. در یک رده، سازه‌ها یا اشیاء و پیکانهای میان آنها مستقل از اینکه اشیاء چه هستند مورد بررسی قرار می‌گیرد.

فهرست

  • ۱ تعریف
  • ۲ نمونه‌ها
  • ۳ گونه‌های ریختارها
  • ۴ جستارهای وابسته
  • ۵ منابع

تعریف

یک رده C {\displaystyle C}

عبارت است از:

  • یک کلاس O b ( C ) {\displaystyle Ob(C)}
    از اشیاء یا سازه‌ها،
  • یک کلاس h o m ( C ) {\displaystyle hom(C)}
    یا m o r ( C ) {\displaystyle mor(C)}
    از پیکانها یا ریختارها (یا مورفیسم‌ها). یک عضو f ∈ h o m ( C ) {\displaystyle f\in hom(C)}
    عبارت است از یک پیکان f : a → b {\displaystyle f:a\to b}
    برای دو سازه a , b ∈ O b ( C ) {\displaystyle a,b\in Ob(C)}
    . نویسه h o m ( a , b ) {\displaystyle hom(a,b)}
    نمایانگر کلاس پیکانهای میان دو شی a {\displaystyle a}
    و b {\displaystyle b}
    است.
  • یک عمل دوتایی ∘ {\displaystyle \circ }
    روی h o m ( C ) {\displaystyle hom(C)}
    که به آن ترکیب می‌گوییم. به گونه ایکه برای هر سه سازه

a , b , c ∈ O b ( C ) {\displaystyle a,b,c\in Ob(C)}

داریم ∘ : h o m ( b , c ) × h o m ( a , b ) → h o m ( a , c ) {\displaystyle \circ :hom(b,c)\times hom(a,b)\to hom(a,c)}
و این عمل خواص زیر را دارد:

۱. شرکت پذیری: اگر g : b → c {\displaystyle g:b\to c}

، f : a → b {\displaystyle f:a\to b}
و h : c → d {\displaystyle h:c\to d}
آنگاه: h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}

۲. همانی: برای هر x ∈ O b ( C ) {\displaystyle x\in Ob(C)}

، یک پیکان 1 x : x → x {\displaystyle 1_{x}:x\to x}
به نام ریختار همانی موجود است که: برای هر ریختار f : a → b {\displaystyle f:a\to b}
داریم: 1 b ∘ f = f = f ∘ 1 a {\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}
.

برای آسانی در نوشتار معمولاً نویسه f ∘ g {\displaystyle f\circ g}

را به صورت f g {\displaystyle fg}
خلاصه می‌کنیم.

نمونه‌ها

  • رده S e t {\displaystyle Set}
    که سازه‌های آن مجموعه‌ها و پیکانهای آن تابعهای میان مجموعه‌ها هستند. به زبان دیگر: S ∈ S e t {\displaystyle S\in Set}
    یک مجموعه و f ∈ h o m ( S , T ) {\displaystyle f\in hom(S,T)}
    یک تابع از مجموعه S {\displaystyle S}
    به مجموعه T {\displaystyle T}
    است.
  • رده G r {\displaystyle Gr}
    که سازه‌ها یا اشیاء آن گروه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های گروهی هستند. به زبان دیگر: G ∈ G r {\displaystyle G\in Gr}
    یک گروه و f ∈ h o m ( G , H ) {\displaystyle f\in hom(G,H)}
    یک همریختی گروهی f : G → H {\displaystyle f:G\to H}
    است.
  • رده R i n g {\displaystyle Ring}
    که سازه‌ها یا اشیاء آن حلقه‌ها و پیکانهای یا ریختارهای آن همریختی‌های حلقه‌ای هستند. به زبان دیگر: R ∈ R i n g {\displaystyle R\in Ring}
    یک حلقه و f ∈ h o m ( R , S ) {\displaystyle f\in hom(R,S)}
    یک همریختی حلقه‌ای f : R → S {\displaystyle f:R\to S}
    است.
  • رده T o p {\displaystyle Top}
    که سازه‌های آن فضاهای توپولوژیک و پیکانها، تابع‌های پیوسته میان فضاهای توپولوژیک می‌باشند.

گونه‌های ریختارها

یک ریختار (یا پیکان) f : a → b {\displaystyle f:a\to b}

را:

  • یک به یک گوییم اگر از f g 1 = f g 2 {\displaystyle fg_{1}=fg_{2}}
    برای همه ریختارهای g 1 , g 2 : x → a {\displaystyle g_{1},g_{2}:x\to a}
    نتیجه شود: g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}}
    .
  • پوشا گوییم اگر از g 1 f = g 2 f {\displaystyle g_{1}f=g_{2}f}
    برای همه ریختارهای g 1 , g 2 : b → x {\displaystyle g_{1},g_{2}:b\to x}
    نتیجه شود: g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}}
    .
  • دوسو گوییم اگر یک به یک و پوشا باشد.
  • یکریختی گوییم اگر دارای وارون باشد یعنی یک ریختار g : b → a {\displaystyle g:b\to a}
    وجود داشته باشد که:

f g = 1 b {\displaystyle fg=1_{b}}

و g f = 1 a {\displaystyle gf=1_{a}}
.

جستارهای وابسته

  • عملگر

منابع

  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag,
  • J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.