حساب گزاره‌ای

با وجود اینکه منطق گزاره‌ای (یا معادلاً "حساب گزاره‌ای") توسط فلاسفهٔ ماقبل مورد اشاره قرار گرفته بود، توسط رواقیون به یک منطق سوری توسعه یافت و خریسپیوس آن را گسترش داد. این منطق متمرکز بر گزاره‌ها بود. این پیشرفت با منطق قیاسی سنتی که مبتنی بر روابط است متفاوت بود. با این وجود با گذر زمان منطق گزاره‌ای توسعه یافته توسط رواقیون دیگر مورد فهم نبود و در نتیجه این سیستم توسط پیتر آبلارد بازآفرینی شد.

منطق گزاره‌ای در نهایت توسط منطق نمادین اصلاح شد. گوتفرید لایبنیتس به خاطر کارهایش در حساب دیفرانسیل و انتگرال استدلالی به عنوان بنیان‌گذار منطق نمادین شناخته می‌شود. با وجود این که آثار او اولین در نوع خود به حساب می‌آمد اما برای جامعهٔ علمی ناشناخته بود. در نتیجه بسیاری از پیشرفت‌های حاصله به لایبنیتس به‌طور کاملاً مستقل از او توسط منطق‌گرایانی مانند جرج بول و آگوستوس دمورگان دوباره به‌دست آمد.

درست همان‌گونه که منطق گزاره‌ای به نوعی یک پیشرفت در مقایسه با دستگاه قدیمی‌تر منطق قیاسی است، منطق محمولاتی ابداع شده توسط گوتلاب فرگ هم پیشرفتی در مقایسه با منطق گزاره‌ای به حساب می‌آید. منطق محمولاتی به عنوان "تلفیقی از ویژگی‌های شاخص منطق قیاسی و منطق گزاره‌ای" توصیف شده‌است، در نتیجهٔ آغازگر دورانی تازه در تاریخ منطق است. با این وجود پیشرفت‌های جدید در منطق گزاره‌ای بعد از فرگ هم انجام گرفته‌است از جمله کسر طبیعی، درخت‌های درستی و جدول ارزش. کسر طبیعی توسط گرهارد گنتزن و جان لوکاسویچ ابداع شده‌است اما در مورد منشأ اختراع جدول درستی بحث و اختلاف نظر وجود دارد.

ایده‌های پشت جدول ارزش در نوشته‌های هر دو فرگ و برتراند راسل یافت شده‌اند، با این حال ساختار جدولی (یعنی قرار دادن مقادیر درستی در جدول‌ها) عمدتاً به لودویگ ویتگنشتاین، امیل لئون پست یا هر دو نسبت داده می‌شود (مستقل از یکدیگر). جدا از فرگ و راسل، دیگرانی که به داشتن نظریاتی ماقبل جدول‌های درستی شناخته می‌شوند، عبارتند از: فیلو، بول، چارلز سندرز پرس و ارنست شرودر. همچنین علاوه بر پست و ویتگنشتاین ساختار جدولی را منتسب به افرادی چون لوکاسویچ، شرودر، آلفرد نورث وایت‌هد ،ویلیام استنلی جوونز، جان ون و کلارنس اروینگ لوویس می‌دانند. در نهایت بعضی چون جان شاشکی این‌گونه نتیجه‌گیری می‌کنند که «بدیهی است که هرکسی می‌تواند مخترع جدول ارزش شناخته شود».

به‌طور کلی، یک حساب دستگاه صوری است که از مجموعه‌ای از عبارات نحوی، یک زیرمجموعهٔ مشخص از این عبارات (اصول) به علاوهٔ مجموعه‌ای از قواعد صوری تشکیل شده که یک رابطهٔ زوج مرتبی خاص را، به قصد آن که به عنوان یک هم نهشتی منطقی دریافت شود، روی فضای عبارات تعریف می‌کند.

هنگامی که قرار است دستگاه صوری یک نظام منطقی باشد، عبارات باید به صورت احکام برداشت شوند، قواعد شناخته شده به عنوان قوانین استنتاج معمولاً درستی نگهدار هستند. در این ساختار قوانین (که ممکن است شامل اصول شوند) می‌توانند برای به‌دست آوردن (استنتاج) فرمول‌هایی که بیانگر احکام درست هستند از فرمول‌های داده شده بر اساس احکام درست مورد استفاده قرار گیرند.

مجموعهٔ اصول ممکن است تهی، یک مجموعه متناهی ناتهی، یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی یا طرح‌واره‌ای از اصول باشد. صرف و نحو صوری به‌طور بازگشتی عبارات و فرمول‌های خوش‌فرم زبان را توصیف می‌کند. به علاوه ممکن است یک معناشناسی داده شود که درستی و ارزش‌گذاری را تعیین کند (همان تفسیرها).

زبان یک منطق گزاره‌ای تشکیل شده از موارد زیر است:

۱- مجموعه‌ای از نمادهای ابتدایی که با الفاظ مختلف از جمله فرمول‌های اتمی، جانگهدارها، ورتنده‌های گزاره‌ای یا متغیر شناخته می‌شوند.

۲- مجموعه‌ای از عملگرها که با نام‌هایی مانند رابط‌های منطقی یا عملگرهای منطقی شناخته می‌شوند.

یک فرمول خوش‌ساخت می‌تواند یک فرمول اتمی یا هر فرمول دیگری که می‌تواند بر اساس فرمول‌های اتمی و با استفاده از عملگرها در حوزهٔ قوانین نحوی ساخته شود باشد.

ریاضی‌دانان گاهی اوقات میان ورتنده‌های گزاره‌ای، متغیرهای گزاره‌ای و طرح‌واره تمایز قایل می‌شوند. ورتنده‌های گزاره‌ای یک گزارهٔ خاص را نمایش می‌دهند در حالی که متغیرهای گزاره‌ای تمام مجموعه فرمول‌های اتمی را فرا می‌گیرند. رایج است که ورتنده‌های گزاره‌ای را با ${\displaystyle B}$

شرح ذیل حدود یک حساب گزاره‌ای استاندارد را مشخص می‌کند. فرموله سازی‌های بسیاری وجود دارند که همه تقریباً در اصل یکسانند اما دارای تفاوت‌هایی در جزییات زیر هستند:

۱- زبان، که در واقع مجموعهٔ خاصی از نمادهای ابتدایی و عملگر هاست.

۲- مجموعهٔ اصول یا فرمول‌های مشخص

۳- مجموعه قواعد استنتاج

می‌توانیم هر گزاره داده شده را با یک حرف که آن را یک ثابت گزاره‌ای می‌نامیم نمایش دهیم که این کار متناظر با نمایش دادن اعداد با حروف الفبا در ریاضیات است برای مثال ${\displaystyle a=5}$

با شروع از نقیض عملگرهای درستی را تعریف می‌کنیم. برای نمایش نقیض ${\displaystyle P}$

ترکیب عطفی

یک تابع درستی است که از دو گزاره ساده‌تر مثلاً ${\displaystyle P}$

1- ${\displaystyle P}$

2- ${\displaystyle P}$

3- ${\displaystyle P}$

4- ${\displaystyle P}$

ترکیب عطفی ${\displaystyle P}$

بیرون باران ببارد و یک جبههٔ هوای سرد در اطراف کانزاس باشد.

اگر بیرون باران ببارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس نباشد ${\displaystyle P\wedge Q}$

اگر بیرون باران نبارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس باشد ${\displaystyle P\wedge Q}$

اگر بیرون باران نبارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس نباشد ${\displaystyle P\wedge Q}$

ترکیب فصلی

ترکیب فصلی از آن جهت که یک گزاره مرکب از دو گزاره ساده‌تر تولید می‌کند مشابه ترکیب عطفی است. ترکیب فصلی را به ${\displaystyle P\vee Q}$

این گزاره بیان می‌کند که یا ${\displaystyle P}$

توجه شود که ترکیب فصلی باید به نوعی استفاده از واژه "یاً را شبیه‌سازی کند اما بیشتر شبیه "یا عمومی" است، که برای نشان دادن صحیح بودن حداقل یکی از دو گزاره استفاده می‌شود. پس ترکیب فصلی با "یا انحصاری" در زبان انگلیسی که نشان دهنده درست بودن دقیقاً یکی از دو گزاره است تفاوت دارد. به عبارت دیگر "یا انحصاری" زمانی که هر دو گزاره ${\displaystyle P}$

ترکیب شرطی

ترکیب شرطی نیز دو گزاره ساده‌تر را با هم ترکیب می‌کند و آن را با ${\displaystyle P\to Q}$

بسته بودن نسبت به عملیات

منطق گزاره‌ای نسبت به عملگرهای درستی نگهدار بسته است. یعنی برای هر گزاره ${\displaystyle \phi }$

نکته: برای هر تعداد دلخواه از ورتنده‌های گزاره‌ای می‌توانیم مجموعه متناهی از حالت‌های ممکن برای مقادیر درستی آن‌ها را ارائه دهیم. یک راه ساده برای تولید این لیست استفاده از جداول درستی است. برای هر مجموعه ${\displaystyle k}$

استدلال

حساب گزاره‌ای می‌تواند یک استدلال را به عنوان مجموعه‌ای از گزاره‌ها تعریف کند. یک استدلال معتبر مجموعه‌ای از گزاره هاست که آخرین آن‌ها بر اساس بقیه نتیجه می‌شود. هر گزاره‌ای که در تعریف فوق صدق نکند مردود شناخته می‌شود. ساده‌ترین استدلال معتبر وضع مقدم است، که نمونه‌ای از آن در ذیل آمده‌است:

این مجموعه‌ای از سه گزاره است که گزاره سوم از دو گزاره قبلی نتیجه می‌شود. به دو گزاره اول «فرض» و به گزاره سوم «نتیجه» می‌گوییم. می‌گوییم گزاره دلخواه ${\displaystyle C}$

بقیه شکل‌های استدلال علی رغم سادگی لزوماً مورد نیاز نیستند. در کنار مجموعهٔ کاملی از اصول وضع مقدم برای اثبات تمام استدلال‌های دیگر در حساب گزاره‌ای کافی است. توجه شود که این وضع د

ویژگی برجسته استدلال در حساب گزاره‌ای آن است که می‌توان بر اساس استدلال‌های ثابت شده، استدلال‌های درست جدید به دست آورد. در اولین مثال بالا، با دو فرض داده شده نمی‌توان در مورد درستی ${\displaystyle Q}$

یک حساب گزاره‌ای یک سیستم صوری ${\displaystyle \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I}\right)}$

مجموعهٔ "آلفا" ${\displaystyle \mathrm{A}}$

مجموعهٔ "امگا" ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$

${\displaystyle \mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_0\cup {\mathrm{\Omega }}_1\cup \dots \cup {\mathrm{\Omega }}_j\cup \dots \cup {\mathrm{\Omega }}_m.}$

در این افراز، ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_j}$

در حساب شناخته شده تر گزاره‌ای، ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{\neg }\},}$

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_2\subseteq \{\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow \}.}$

مرسوم است که مقادیر ثابت درستی را عملگرهایی از مرتبه صفر در نظر می‌گیریم، بنابراین:

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_0=\{0,1\}.}$

بعضی مؤلفان از نماد تیلدا(~)، به جای ¬ و بعضی دیگر از آمرسان (&) یا پیشوند K با جای ∧ استفاده می‌کنند. نمادگزاری برای مجموعهٔ مقادیر منطقی حتی متنوع تر است، به گونه‌ای که نمادهای {false, true}, {F, T}, or ${\displaystyle \{\mathrm{\perp },\mathrm{\top }\}}$

مجموعهٔ «زتا» ${\displaystyle \mathrm{Z}}$

مجموعه «یوتا» ${\displaystyle \mathrm{I}}$

زبان ${\displaystyle \mathcal{L}}$

۱- بر اساس قانون ۱، ${\displaystyle p}$

۲- بر اساس قانون ۲، ${\displaystyle \mathrm{\neg }p}$

۳- بر اساس قانون ۱، ${\displaystyle q}$

۴- بر اساس قانون ۲، ${\displaystyle (\mathrm{\neg }p\vee q)}$

فرض کنیم ${\displaystyle {\mathcal{L}}_1=\mathcal{L}(\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I})}$

• مجموعه آلفا ${\displaystyle \mathrm{A}}$
  ، مجموعه‌ای متناهی از نمادها است که به اندازه کافی بزرگ هست تا نیازهای یک مبحث را تأمین کند، برای مثال:

${\displaystyle \mathrm{A}=\{p,q,r,s,t,u\}.}$

• از سه علامت ربط برای ترکیب‌های عطفی، فصلی و شرطی (${\displaystyle \wedge }$
  , ${\displaystyle \vee }$
  , و ${\displaystyle \to }$
  )، یکی را می‌توان به عنوان عملگر اصلی انتخاب نموده و دو عملگر دیگر بر اساس آن عملگر و عملگر نقیض (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$
  ) تعریف خواهند شد. در واقع تمام عملگرهای منطقی می‌توانند بر اساس یک عملگر کامل تعریف شوند. دوشرطی منطقی (${\displaystyle \leftrightarrow }$
  ) نیز می‌تواند بر اساس عطف و عملگر شرط منطقی تعریف شود، به این صورت که ${\displaystyle a\leftrightarrow b}$
  به صورت ${\displaystyle (a\to b)\wedge (b\to a)}$
  تعریف شود.

انتخاب نقیض و شرط منطقی به عنوان عملگرهای اصلی یک حساب گزاره‌ای هم ارز است با این که مجموعه امگا ${\displaystyle \mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2}$

را به این صورت داشته باشیم که:

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{\neg }\},}$

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_2=\{\to \}.}$

• یکی از سیستم‌های اصل موضوعی، که توسط یان ووکاشویچ (به لهستانی: Jan Łukasiewicz) ارائه شده‌است، حسابی گزاره‌ای را به صورتی که در اینجا توضیح داده شده فرمولیزه می‌کند. اصول موضوعی، همگی حاصل جایگذاری متغیرها در گزاره‌های زیر هستند.

• ${\displaystyle (p\to (q\to p))}$

• ${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

• ${\displaystyle ((\mathrm{\neg }p\to \mathrm{\neg }q)\to (q\to p))}$

• قانون استنتاج، وضع مقدم است (یعنی، از ${\displaystyle p}$
  و ${\displaystyle (p\to q)}$
  ، نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle q}$
  ). پس ${\displaystyle a\vee b}$
  به صورت ${\displaystyle \mathrm{\neg }a\to b}$
  ، و ${\displaystyle a\wedge b}$
  به صورت ${\displaystyle \mathrm{\neg }(a\to \mathrm{\neg }b)}$
  تعریف می‌شود.

فرض کنیم ${\displaystyle {\mathcal{L}}_2=\mathcal{L}(\mathrm{A},\mathrm{\Omega },\mathrm{Z},\mathrm{I})}$

• مجموعه آلفا ${\displaystyle \mathrm{A}}$
  ، مجموعه‌ای متناهی از نمادها است که برای تأمین نیازهای یک مبحث معین به اندازه کافی بزرگ هست. برای مثال:

  ${\displaystyle \mathrm{A}=\{p,q,r,s,t,u\}.}$

• مجموعه امگا ${\displaystyle \mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\cup {\mathrm{\Omega }}_2}$
  این گونه تقسیم‌بندی می‌شود:

  ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_1=\{\mathrm{\neg }\},}$

  ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_2=\{\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow \}.}$

در این مثال از حساب گزاره‌ای، هدف این است که قوانین استنتاج، برگرفته از قوانین استنتاج دستگاه موسوم به دستگاه نتیجه‌گیری طبیعی باشند. دستگاهی که در اینجا ارائه می‌شود فاقد هرگونه نقطه ابتدایی است. یعنی در تفسیر این دستگاه از عملیات منطقی، قضایا را از مجموعه‌ای تهی به عنوان اصول موضوعی استنتاج می‌شوند.

• مجموعه نقاط ابتدایی بحث خالی است. یعنی ${\displaystyle \mathrm{I}=\varnothing }$
  .
• مجموعه قوانین استنتاج، ${\displaystyle \mathrm{Z}}$
  ، این گونه توصیف می‌شود:

دستگاه گزاره‌ای ما دارای ده قانون نتیجه‌گیری است. این قوانین به ما اجازه می‌دهند تا از مجموعه‌ای از فرمول‌ها که به صورت پیش‌فرض درست تلقی شده‌اند، فرمول‌های صحیح دیگری را نتیجه بگیریم. نه قانون اول صرفاً بیان می‌کنند که چگونه می‌توان بعضی فرمول‌های خوش ساخت را از برخی دیگر نتیجه گرفت. اما آخرین قانون از استدلالی مبتنی بر فرض استفاده می‌کند، به این معنا که در پیش‌فرض این قانون، موقتاً فرض می‌کنیم که فرضیه‌ای اثبات نشده بخشی از فرمول‌های استنتاج شده ما باشد، تا امکان نتیجه گرفتن یک فرمول خاص دیگر را بررسی نماییم. از آنجا که نه قانون اول این کار را نمی‌کنند، آن‌ها را قوانین غیر فرض محور (به انگلیسی non-hypothetical) می‌خوانند و قانون دهم را قانون فرض محور (به انگلیسی hypothetical) نامیده‌اند.

در توصیف قوانین استنتاج، ممکن است برای سادگی در زبان فراتر از گزاره‌ها (به انگلیسی metalanguage: سیستمی برای گزاره‌هایی راجع به گزاره‌ها) از نماد جدید ${\displaystyle ⊢}$

تعریف نقیض

از ${\displaystyle (p\to q)}$

و ${\displaystyle (p\to \mathrm{\neg }q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle \mathrm{\neg }p}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{(p\to q),(p\to \mathrm{\neg }q)\}⊢\mathrm{\neg }p}$

.

حذف نقیض

از ${\displaystyle \mathrm{\neg }p}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\to r)}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{\mathrm{\neg }p\}⊢(p\to r)}$

.

حذف دو منفی

از ${\displaystyle \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle p}$

.

یعنی، ${\displaystyle \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p⊢p}$

.

تعریف عطف

از ${\displaystyle p}$

و ${\displaystyle q}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\wedge q)}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{p,q\}⊢(p\wedge q)}$

.

حذف عطف

از ${\displaystyle (p\wedge q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle p}$

.

از ${\displaystyle (p\wedge q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle q}$

.

یعنی، ${\displaystyle (p\wedge q)⊢p}$

و ${\displaystyle (p\wedge q)⊢q}$

.

تعریف فصل

از ${\displaystyle p}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\vee q)}$

.

از ${\displaystyle q}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\vee q)}$

.

یعنی، ${\displaystyle p⊢(p\vee q)}$

و ${\displaystyle q⊢(p\vee q)}$

.

حذف فصل

از ${\displaystyle (p\vee q)}$

و ${\displaystyle (p\to r)}$

و ${\displaystyle (q\to r)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle r}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{p\vee q,p\to r,q\to r\}⊢r}$

.

تعریف دوشرطی

از ${\displaystyle (p\to q)}$

و ${\displaystyle (q\to p)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{p\to q,q\to p\}⊢(p\leftrightarrow q)}$

.

حذف دوشرطی

از ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\to q)}$

.

از ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (q\to p)}$

.

یعنی، ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)⊢(p\to q)}$

و ${\displaystyle (p\leftrightarrow q)⊢(q\to p)}$

.

وضع مقدم (conditional elimination)

از ${\displaystyle p}$

و ${\displaystyle (p\to q)}$

, نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle q}$

.

یعنی، ${\displaystyle \{p,p\to q\}⊢q}$

.

اثبات شرطی (تعریف استنتاج)

از [قبول کردن این که ${\displaystyle p}$

دلیل بر درستی ${\displaystyle q}$

باشد]، نتیجه می‌گیریم ${\displaystyle (p\to q)}$

.

یعنی، ${\displaystyle (p⊢q)⊢(p\to q)}$

.

یکی از استفاده‌های اصلی حساب گزاره‌ای، هنگامی که آن را معادل عملیات منطقی تفسیر نماییم، تشخیص روابط هم‌ارزی منطقی بین روابط گزاره‌ای است. این روابط هم‌ارزی به کمک قوانین استنتاج موجود تشخیص داده می‌شوند که به دنباله‌های آن‌ها اثبات یا استنتاج گفته می‌شود.

در ادامه، یک اثبات به صورت دنباله‌ای از خطوط شماره دار ارائه می‌شود که هر خط آن تنها یک رابطه را دربردارد، و به همراه آن دلیل یا توجیه صحت این رابطه نیز آمده‌است. هر پیش‌فرض برای استدلال، یعنی چیزی که به عنوان فرض از قبل پذیرفته شده، در ابتدای دنباله فهرست شده و به عنوان یک «پیش فرض» در محل توجیه موردنظر علامت‌گذاری شده‌است. نتیجه، در سطر پایانی بیان شده‌است. یک اثبات هنگامی کامل است که هر سطر، پیرو خط‌های پیشین با به‌کارگیری درست قوانین استنتاج باشد. (به عنوان یک راهکار متفاوت از این دستگاه، می‌توان روش نمودار تحلیل (درخت درستی)، یا به انگلیسی proof-trees، را معرفی نمود)

مثالی از یک اثبات

• حکم این است که ${\displaystyle A\to A}$
  .
• یک راه ممکن برای اثبات این موضوع، که علی‌رغم درستی تعداد مراحل آن بیش از حد نیاز است، در ادامه آمده‌است:

رابطه ${\displaystyle A⊢A}$

ویژگی بسیار مهم این مجموعه قوانین، صحت و کامل بودن آن است. به بیان شهودی، این بدان معنی است که قوانین درست هستند و به قوانین دیگری نیز نیاز نداریم. این ادعا را می‌توان همان‌طور که در ادامه خواهد آمد به صورت قاعده مند تری درآورد.

ما نگاشت درستی را به صورت تابعی تعریف می‌کنیم که متغیرهای گزاره‌ای را به یکی از مقادیر درست یا نادرست می‌نگارد، یا به عبارتی به هر گزاره یکی از مقادیر درست یا نادرست را نسبت می‌دهد. به‌طور شهودی، نگاشت درستی را می‌توان به صورت توصیف یک حالت امور یا دنیای ممکن تعبیر کرد، که در آن برخی جملات صحیح هستند و باقی نادرست هستند. پس مفهوم معناشناسی روابط را می‌توان این‌گونه به‌طور قاعده مند تعریف نمود که برای کدام «حالت امور» آن روابط درست تلقی می‌شوند، که تعریف زیر حاکی از همین موضوع است.

تعریف می‌کنیم که یک نگاشت درستی مانند ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$
  متغیر گزاره‌ای ${\displaystyle P}$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر ${\displaystyle A(P)=\text{true}}$
• ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle \mathrm{\neg }\varphi }$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle \varphi }$
  را اقناع نکند
• ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle (\varphi \wedge \psi )}$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر ${\displaystyle A}$
  هر دو متغیر ${\displaystyle \varphi }$
  و ${\displaystyle \psi }$
  را اقناع کند
• ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle (\varphi \vee \psi )}$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر ${\displaystyle A}$
  حداقل یکی از دو متغیر ${\displaystyle \varphi }$
  یا ${\displaystyle \psi }$
  را اقناع نماید.
• ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle (\varphi \to \psi )}$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر این‌گونه نباشد که ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle \varphi }$
  را اقناع کند ولی ${\displaystyle \psi }$
  را اقناع نکند
• ${\displaystyle A}$
  ، ${\displaystyle (\varphi \leftrightarrow \psi )}$
  را اقناع می‌کند اگر و فقط اگر ${\displaystyle A}$
  هر دو متغیر ${\displaystyle \varphi }$
  و ${\displaystyle \psi }$
  را اقناع کند یا این که هیچ‌کدام را اقناع نکند.

با داشتن این تعاریف، اکنون می‌توانیم به‌طور قاعده مند تعریف نماییم، این که مجموعه‌ای چون ${\displaystyle S}$

در پایان، دلالت بر اساس قواعد ترکیب را این گونه تعریف می‌کنیم که ${\displaystyle S}$

صحت

اگر مجموعه ${\displaystyle S}$

از رابطه‌های خوش ساخت، بر اساس قواعد ترکیب، دلیل بر رابطه خوش ساخت ${\displaystyle \varphi }$

باشد، آنگاه ${\displaystyle S}$

به لحاظ معنایی نیز دلیل بر ${\displaystyle \varphi }$

است.

کامل بودن

اگر مجموعه ${\displaystyle S}$

از رابطه‌های خوش ساخت، به لحاظ معنایی دلیل بر رابطه خوش ساخت ${\displaystyle \varphi }$

باشد، آنگاه ${\displaystyle S}$

بر اساس قواعد ترکیب نیز دلیل بر ${\displaystyle \varphi }$

است.

برای مجموعه قوانین فوق، این دو شرط برقرار هستند.

• چگونگی شکل‌گیری منطق رواقی-مگاری به لحاظ تاریخی و مبانی منطقی، مهدی امامی جمعه، مجلهٔ علمی پژوهشی دانشکدهٔ ادبیات و علوم انسانی، دانشگاه اصفهان

• محمد اردشیر (۱۳۸۳)، منطق ریاضی، انتشارات هرمس با همکاری مرکز بین‌المللی گفتگوی تمدن‌ها، شابک ۹۶۴-۳۶۳-۲۲۹-۶

• گزاره (منطق)
• گزاره‌نما
• منطق مرتبه صفر
• منطق مرتبه اوّل
• منطق مرتبه دوّم
• منطق مراتب بالاتر
• منطق‌های توصیف