حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 10 دقیقه
لینک کوتاه

جدول معادلات ترمودینامیکی

در فهرست زیر معادلات متداول و پر کاربرد ترمودینامیک آورده شده‌است:

فهرست

  • ۱ تعاریف
    • ۱.۱ کمیت‌های پایه‌ای عمومی
  • ۲ متغیرها
  • ۳ معادله‌ها
    • ۳.۱ آنتروپی
    • ۳.۲ خواص کوانتومی
    • ۳.۳ فرایند شبه‌تعادلی و فرایند برگشت‌پذیر
    • ۳.۴ ظرفیت گرمایی در فشار ثابت
    • ۳.۵ ظرفیت گرمایی در حجم ثابت
    • ۳.۶ پتانسیل ترمودینامیکی و مفاهیم مرتبط
    • ۳.۷ ضریب تراکم‌پذیری همدما at constant temperature
    • ۳.۸ برخی روابط دیگر
    • ۳.۹ جدول معادلات برای گاز ایده‌آل
  • ۴ دیگر معادلات سودمند
    • ۴.۱ برهان ۱
    • ۴.۲ برهان ۲
  • ۵ جستارهای وابسته
  • ۶ منابع

تعاریف

بسیاری از تعاریف زیر، در ترمودینامیک واکنش‌های شیمیایی نیز استفاده شده‌اند.

کمیت‌های پایه‌ای عمومی

کمیت (نام رایج) نماد (رایج) یکای SI بعد
تعداد مولکول‌ها N بدون بعد بدون بعد
تعداد مول‌ها n mol [N]
دما T K [Θ]
گرما Q, q J [ M ] [ L ] 2 [ T ] − 2 {\displaystyle [M][L]^{2}[T]^{-2}}
گرمای نهان Q L {\displaystyle Q_{L}}
J [ M ] [ L ] 2 [ T ] − 2 {\displaystyle [M][L]^{2}[T]^{-2}}

متغیرها

معادله‌ها

آنتروپی

  •   S = k B ( ln ⁡ Ω )   {\displaystyle ~S=k_{B}(\ln \Omega )~}
    ، where k B {\displaystyle k_{B}}
    is the ثابت بولتزمن، and Ω {\displaystyle \Omega }
    denotes the volume of ریزحالت in the فضای فاز.
  •   d S = δ Q T   {\displaystyle ~dS={\frac {\delta Q}{T}}~}
    ، برای سیستم برگشت‌پذیر

خواص کوانتومی

  •   U = N k B T 2 ( ∂ ln ⁡ Z ∂ T ) V   {\displaystyle ~U=Nk_{B}T^{2}\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}\right)_{V}~}
  •   S = U T + N ∗   S = U T + N k B ln ⁡ Z − N k ln ⁡ N + N k   {\displaystyle ~S={\frac {U}{T}}+N*~S={\frac {U}{T}}+Nk_{B}\ln Z-Nk\ln N+Nk~}
    Indistinguishable Particles

where N is number of particles, Z is the partition function, h is ثابت پلانک، I is ممان اینرسی، Zt is Ztranslation, Zv is Zvibration, Zr is Zrotation

  •   Z t = ( 2 π m k B T ) 3 2 V h 3   {\displaystyle ~Z_{t}={\frac {(2\pi mk_{B}T)^{\frac {3}{2}}V}{h^{3}}}~}
  •   Z v = 1 1 − e − h ω 2 π k B T   {\displaystyle ~Z_{v}={\frac {1}{1-e^{\frac {-h\omega }{2\pi k_{B}T}}}}~}
  •   Z r = 2 I k B T σ ( h 2 π ) 2   {\displaystyle ~Z_{r}={\frac {2Ik_{B}T}{\sigma ({\frac {h}{2\pi }})^{2}}}~}


where:

  •   σ = 1   {\displaystyle ~\sigma =1~}
    ، مولکول ناجورهسته
  •   σ = 2   {\displaystyle ~\sigma =2~}
    ، مولکول جورهسته

فرایند شبه‌تعادلی و فرایند برگشت‌پذیر

  •   d Q = C p d T + l v d v = d U + P d V = T d S   {\displaystyle ~dQ=C_{p}dT+l_{v}d_{v}=dU+PdV=TdS~}

ظرفیت گرمایی در فشار ثابت

  •   C p = ( ∂ Q r e v ∂ T ) p = ( ∂ U ∂ T ) p + p ( ∂ V ∂ T ) p = ( ∂ H ∂ T ) p = T ( ∂ S ∂ T ) p   {\displaystyle ~C_{p}=\left({\partial Q_{rev} \over \partial T}\right)_{p}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{p}+p\left({\partial V \over \partial T}\right)_{p}=\left({\partial H \over \partial T}\right)_{p}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{p}~}

ظرفیت گرمایی در حجم ثابت

  •   C V = ( ∂ Q r e v ∂ T ) V = ( ∂ U ∂ T ) V = T ( ∂ S ∂ T ) V   {\displaystyle ~C_{V}=\left({\partial Q_{rev} \over \partial T}\right)_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}~}

پتانسیل ترمودینامیکی و مفاهیم مرتبط

نام نماد فرمول متغیرهای طبیعی
انرژی درونی U {\displaystyle U}
∫ ( T d S − p d V + ∑ i μ i d N i ) {\displaystyle \int (TdS-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i})}
S , V , { N i } {\displaystyle S,V,\{N_{i}\}}
انرژی آزاد هلمولتز F {\displaystyle F}
U − T S {\displaystyle U-TS}
T , V , { N i } {\displaystyle T,V,\{N_{i}\}}
آنتالپی H {\displaystyle H}
U + p V {\displaystyle U+pV}
S , p , { N i } {\displaystyle S,p,\{N_{i}\}}
انرژی آزاد گیبس G {\displaystyle G}
U + p V − T S {\displaystyle U+pV-TS}
T , p , { N i } {\displaystyle T,p,\{N_{i}\}}
پتانسیل لاندو (پتانسیل بزرگ) Ω {\displaystyle \Omega }
, Φ G {\displaystyle \Phi _{G}}
U − T S − {\displaystyle U-TS-}
∑ i {\displaystyle \sum _{i}\,}
μ i N i {\displaystyle \mu _{i}N_{i}}
T , V , { μ i } {\displaystyle T,V,\{\mu _{i}\}}

See also:

  • روابط ماکسول
  • روابط اساسی ترمودینامیک

ضریب تراکم‌پذیری همدما at constant temperature

  •   K T = − 1 V ( ∂ V ∂ p ) T , N   {\displaystyle ~K_{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial p}\right)_{T,N}~}

برخی روابط دیگر

  •   ( ∂ S ∂ U ) V , N = 1 T   {\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial U}\right)_{V,N}={1 \over T}~}
  •   ( ∂ S ∂ V ) N , U = p T   {\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial V}\right)_{N,U}={p \over T}~}
  •   ( ∂ S ∂ N ) V , U = − μ T   {\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial N}\right)_{V,U}=-{\mu \over T}~}
  •   ( ∂ T ∂ S ) V = T C V   {\displaystyle ~\left({\partial T \over \partial S}\right)_{V}={T \over C_{V}}~}
  •   ( ∂ T ∂ S ) p = T C p   {\displaystyle ~\left({\partial T \over \partial S}\right)_{p}={T \over C_{p}}~}
  •   − ( ∂ p ∂ V ) T = 1 V K T   {\displaystyle ~-\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T}={1 \over {VK_{T}}}~}

جدول معادلات برای گاز ایده‌آل

Quantity General Equation Isobaric
Δp = ۰ 		Isochoric
ΔV = ۰ 		Isothermal
ΔT = ۰ 		Adiabatic
Q = 0 {\displaystyle Q=0}
کار
W {\displaystyle W}
δ W = p d V {\displaystyle \delta W=pdV\;}
p Δ V {\displaystyle p\Delta V\;}
- 		0 {\displaystyle 0\;}
n R T ln ⁡ V 2 V 1 {\displaystyle nRT\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;}
P V γ ( V f 1 − γ − V i 1 − γ ) 1 − γ {\displaystyle {\frac {PV^{\gamma }(V_{f}^{1-\gamma }-V_{i}^{1-\gamma })}{1-\gamma }}}
= C V ( T 1 − T 2 ) {\displaystyle C_{V}\left(T_{1}-T_{2}\right)}
ظرفیت گرمایی
C 		(as for real gas) C p = 5 2 n R {\displaystyle C_{p}={\frac {5}{2}}nR\;}

(for monatomic ideal gas) 		C V = 3 2 n R {\displaystyle C_{V}={\frac {3}{2}}nR\;}

(for monatomic ideal gas)
انرژی درونی
ΔU 		Δ U = C v Δ T {\displaystyle \Delta U=C_{v}\Delta T\;}
Q + W {\displaystyle Q+W\;}


Q p − p Δ V {\displaystyle Q_{p}-p\Delta V\;}
Q {\displaystyle Q\;}


C V ( T 2 − T 1 ) {\displaystyle C_{V}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}
0 {\displaystyle 0\;}


Q = W {\displaystyle Q=W\;}
− W {\displaystyle -W\;}


C V ( T 2 − T 1 ) {\displaystyle C_{V}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}
آنتالپی
ΔH 		H = U + p V {\displaystyle H=U+pV\;}
C p ( T 2 − T 1 ) {\displaystyle C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}
Q V + V Δ p {\displaystyle Q_{V}+V\Delta p\;}
0 {\displaystyle 0\;}
C p ( T 2 − T 1 ) {\displaystyle C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}
آنتروپی
ΔS 		Δ S = C v ln ⁡ T 2 T 1 + R ln ⁡ V 2 V 1 {\displaystyle \Delta S=C_{v}\ln {T_{2} \over T_{1}}+R\ln {V_{2} \over V_{1}}}

Δ S = C p ln ⁡ T 2 T 1 − R ln ⁡ p 2 p 1 {\displaystyle \Delta S=C_{p}\ln {T_{2} \over T_{1}}-R\ln {p_{2} \over p_{1}}}
C p ln ⁡ T 2 T 1 {\displaystyle C_{p}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;}
C V ln ⁡ T 2 T 1 {\displaystyle C_{V}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;}
n R ln ⁡ V 2 V 1 {\displaystyle nR\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;}

Q T {\displaystyle {\frac {Q}{T}}\;}
C p ln ⁡ V 2 V 1 + C V ln ⁡ p 2 p 1 = 0 {\displaystyle C_{p}\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}+C_{V}\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=0\;}
Constant {\displaystyle \;}
V T {\displaystyle {\frac {V}{T}}\;}
p T {\displaystyle {\frac {p}{T}}\;}
p V {\displaystyle pV\;}
p V γ {\displaystyle pV^{\gamma }\;}

دیگر معادلات سودمند

  • Δ U = Q − W = Q − ∫ p e x t d V = Q − p e x t Δ V {\displaystyle \Delta U=Q-W=Q-\int p_{ext}dV=Q-p_{ext}\Delta V}
  • H = U + p V {\displaystyle H=U+pV\,\!}
  • A = U − T S {\displaystyle A=U-TS\,\!}
  • G = H − T S = ∑ i μ i N i {\displaystyle G=H-TS=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,\!}
  • d U ( S , V , n i ) = T d S − p d V + ∑ i μ i d N i {\displaystyle dU\left(S,V,{n_{i}}\right)=TdS-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}
  • d H ( S , p , n i ) = T d S + V d p + ∑ i μ i d N i {\displaystyle dH\left(S,p,n_{i}\right)=TdS+Vdp+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}
  • d A ( T , V , n i ) = − S d T − p d V + ∑ i μ i d N i {\displaystyle dA\left(T,V,n_{i}\right)=-SdT-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}
  • d G ( T , p , n i ) = − S d T + V d p + ∑ i μ i d N i {\displaystyle dG\left(T,p,n_{i}\right)=-SdT+Vdp+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}
  • μ J T = ( ∂ T ∂ p ) H {\displaystyle \mu _{JT}=\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}}
  • κ T = − 1 V ( ∂ V ∂ p ) T {\displaystyle \kappa _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}
  • α p = 1 V ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle \alpha _{p}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
  • ( ∂ H ∂ p ) T = V − T ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}=V-T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}
  • ( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ p ∂ T ) V − p {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}
  • H = − T 2 ( ∂ ( G / T ) ∂ T ) p {\displaystyle H=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(G/T\right)}{\partial T}}\right)_{p}}
  • U = − T 2 ( ∂ ( A / T ) ∂ T ) V {\displaystyle U=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(A/T\right)}{\partial T}}\right)_{V}}

برهان ۱

نمونه ای از کاربرد روش بالا:

( ∂ T ∂ p ) H = − 1 C p ( ∂ H ∂ p ) T {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}
( ∂ T ∂ p ) H ( ∂ p ∂ H ) T ( ∂ H ∂ T ) p = − 1 {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}\left({\frac {\partial p}{\partial H}}\right)_{T}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}=-1}
( ∂ T ∂ p ) H = − ( ∂ H ∂ p ) T ( ∂ T ∂ H ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}\left({\frac {\partial T}{\partial H}}\right)_{p}}
= − 1 ( ∂ H ∂ T ) p ( ∂ H ∂ p ) T {\displaystyle ={\frac {-1}{\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}
 ; C p = ( ∂ H ∂ T ) p {\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}
⇒ ( ∂ T ∂ p ) H = − 1 C p ( ∂ H ∂ p ) T {\displaystyle \Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}

برهان ۲

نمونه‌های دیگر:

C V = T ( ∂ S ∂ T ) V {\displaystyle C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}
‴ U = Q − W ‴ {\displaystyle '''U=Q-W\,\!'''}
d U = δ Q r e v − δ W r e v ; d S = δ Q r e v T , δ W r e v = p d V {\displaystyle dU=\delta Q_{rev}-\delta W_{rev};dS={\frac {\delta Q_{rev}}{T}},\delta W_{rev}=pdV\,\!}
= T d S − p d V {\displaystyle =TdS-pdV\,\!}
( ∂ U ∂ T ) V = T ( ∂ S ∂ T ) V − p ( ∂ V ∂ T ) V ; C V = ( ∂ U ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}-p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{V};C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}
⇒ C V = T ( ∂ S ∂ T ) V {\displaystyle \Rightarrow C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}

جستارهای وابسته

  • معادله آنتوان
  • عدد بیجان
  • Bowen ratio
  • Bridgman's equations
  • معادله کلازیوس-کلاپیرون
  • Departure functions
  • Duhem–Margules equation
  • Ehrenfest equations
  • Gibbs–Helmholtz equation
  • قانون فازی گیبس
  • Kopp's law
  • Kopp–Neumann law
  • Noro–Frenkel law of corresponding states
  • Onsager reciprocal relations
  • عدد استفان
  • Triple product rule

منابع

  1. ↑ Adiabatic Processes
  2. ↑ Keenan, Thermodynamics, Wiley, New York, 1947
  • Atkins, Peter and de Paula, Julio Physical Chemistry, 7th edition, W.H. Freeman and Company, 2002 ISBN 0-7167-3539-3].
    • Chapters 1 - 10, Part 1: Equilibrium.
  • Bridgman, P.W. , Phys. Rev., 3, 273 (1914).
  • Landsberg, Peter T. Thermodynamics and Statistical Mechanics. New York: Dover Publications, Inc. , 1990. (reprinted from Oxford University Press, 1978).
  • Lewis, G.N. , and Randall, M. , "Thermodynamics", 2nd Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1961.
  • Reichl, L.E. , "A Modern Course in Statistical Physics", 2nd edition, New York: John Wiley & Sons, 1998.
  • Schroeder, Daniel V. Thermal Physics. San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000 ISBN 0-201-38027-7].
  • Silbey, Robert J. , et al. Physical Chemistry. 4th ed. New Jersey: Wiley, 2004.
  • Callen, Herbert B. (1985). "Thermodynamics and an Introduction to Themostatistics", 2nd Ed. , New York: John Wiley & Sons.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.