ثابت بی دررو

در ترمودینامیک، تغییرات بی دررو آن‌هایی هستند که موجب تغییر در آنتروپی سامانه نمی‌شوند. این تغییرات به آهستگی روی می‌دهند واگر انتقال گرمایی رخ دهد تنها بین اجسام همدما در تعادل گرمایی صورت می‌پذیرد. برای یک سامانهٔ بسته هیچگونه تبادل گرمایی بین محیط و سامانه رخ نمی‌دهد.

انبساط بی دررو یک گاز ایده‌آل (آرمانی یا کامل)

اگر محتوای یک گاز ایده‌آل ناگهانی منبسط شود، دمای آن بلافاصله بعد از انبساط دچار تغییرات نمی‌شود، به این دلیل که کلاً توزیع سرعت‌های مولکولی گاز که با دمای گاز رابطه مستقیم دارد حفظ می‌شود، فقط حجم گاز در فضای بازتری گسترده می‌شود. حال اگر همین گاز به آهستگی منبسط شود طوری‌که قانون گاز کامل هنوز در هر مقطع زمانی برای گاز معتبر بماند، گاز در حال انبساط با انجام کار بر روی سطوح محدودکننده سامانه یا دیواره‌ها انرژی از دست داده که برابر با کار انجام شده توسط گاز است، یعنی حاصلضرب مقدار سطوح دیوارها در جابجایی خطی دیواره‌ها در فشار داخلی گاز که معادل است با فشار لحظه‌ای گاز در افزایش حجم.

${\displaystyle dW=PdV=\frac{N{k}_{B}T}{V}dV}$

اگر هیچ گرمایی به گاز منتقل نشود یا از آن خارج نشود، انرژی مولکول‌های گاز هم به همین مقدار کاهش می‌یابد. مطابق تعریف گاز ایده‌آل گازیست که دمای آن تنها تابع انرژی داخلی برای هر ذره آن باشد و نه حجم کل گاز:

${\displaystyle dT=\frac{1}{N{C}_v}dE}$

در رابطه قبل ${\displaystyle C_v}$

${\displaystyle N{C}_{v}dT=-dW=-\frac{N{k}_{B}T}{V}dV}$

این رابطه یک معادله دیفرانسیل بین تغییرات دما و حجم را نشان می‌دهد، که می‌توان با انتگرال‌گیری از آن یه جواب یا جوابهایی برای ثابت بی دررو رسید. در اینجا ثابت ${\displaystyle k_B}$

${\displaystyle d(C_{v}N\ln T)=-d(N\ln V)}$

این معادله نشان می‌دهد که کمیت زیر در طی فرایند بدون تغییر می‌ماند:

${\displaystyle C_{v}N\ln T+N\ln V}$

و این کمیت با اندکی ملاحظات همان آنتروپی سامانه گاز ایده‌آل را با رابطه زیر توصیف می‌کند.

${\displaystyle S=C_{v}N\ln T+N\ln V-N\ln N=N\ln (T^{C_v}V/N)}$

حضور جمله N lnN در معادله باعث می‌شود که آنتروپی قابلیت جمع‌پذیری پیدا کند و مثلاً آنتروپی دوحجم از گاز معادل مجموع آنتروپی‌های تک تک آن‌ها باشد.

از دید گاه مولکولی یا میکروسکپیک، آنتروپی سامانه گاز ایده ال با انرژی (E(T و حجم V عبارت است از لگاریتم تعداد کل حالتهای ممکن برای تقسیم انرژی مولکولی گاز. برای یک گاز ایده‌آل تک اتمی می‌توان به سادگی این انرژی را به صورت رابطه کلاسیک زیر نوشت.

${\displaystyle E=\frac{1}{2m}\sum _k{p}_{k1}^2+p_{k2}^2+p_{k3}^2}$

که در آن p تکانه خطی مولکول‌های گاز و شاخص‌ها ۱، ۲ و ۳ جهات اصلی فضا یا به عبارت فنی‌تر درجات آزادی هر مولکول گاز را نشان می‌دهد. تعداد کل حالتهایی که مولکول‌های گاز ایده ال با انرژی E می‌تواند داشته باشد را می‌توان در کره‌ای با شعاع ${\displaystyle \sqrt{2mE}}$

$\frac{{\displaystyle 2{\pi }^{3N/2}(2mE{)}^{\frac{3N-1}{2}}}}{\mathrm{\Gamma }(3N/2)}$

که در آن ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$

$\frac{{\displaystyle 2{\pi }^{3N/2}(2mE{)}^{\frac{3N-1}{2}}{V}^N}}{\mathrm{\Gamma }(3N/2)}$

البته N مولکول گاز غیرقابل تفکیک هستند که با تقسیم بر تعداد جایگشت برای N مولکول به صورت ${\displaystyle N!=\mathrm{\Gamma }(N+1)}$

${\displaystyle S=N(3/2ln(E)-3/2ln(3N/2)+ln(V)-ln(N))}$

${\displaystyle =N(3/2ln(\frac{2}{3}{\displaystyle E/N)+ln(V/N))}}$

با این توجه که ظرفیت گرمایی ویژه برای گاز تک اتمی معادل ۳/۲ است، این رابطه معادل ترمودینامیکی آنتروپی را برای ثابت بی در رو گاز ایده‌آل با انرژی E نشان می‌دهد.

قانون وین-گسترش بی دررو جعبه نور

برای یک جعبه یا محفظه بسته تابش، صرفنظر از فیزیک کوانتوم، با این پیش‌فرض که انرژی میدان کلاسیک در حالت تعادل گرمایی بی‌نهایت است، بر اساس اصل کلاسیک تقسیم مساوی انرژی بین مدهای متفاوت میدان که تعداد آن‌ها نیز بی‌نهایت است می‌توان به این نتیجهٔ مضحک رسید که انرژی به مرور زمان با گسترش جعبه به فرکانس‌های پایینتر نشت می‌کند! این مسئله که به فاجعه فرابنفش در فیزیک کلاسیک معروف بود را می‌توان هنوز بدون در نظر گرفتن فیزیک کوانتوم تنها از دیدگاه ترمودینامیکی تقسیم انرژی مورد بحث قرار داد، چرا که با در نظر گرفتن تأثیر ثابت بی دررو در فرایند تقسیم انرژی نسبت آن‌ها برای مدهای متفاوت به صورت دیگری نوشته خواهد شد.

به هنگام گسترش تدریجی جعبه به سمت بیرون فرکانس نور بازگشته از دیواره‌های جعبه را می‌توان با کمک جابجایی دوپلر محاسبه کرد. اگر دیواره‌ها جابجا نشوند فرکانس بازگشتی برابر با فرکانس دریافتی است در حالی که هنگام گسترش آهسته دیواره فرکانس در یافتی با دو برابر فاکتور v/cبه سمت قرمز طیف جابجا می‌شود:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }f=\frac{2v}{c}f}$

از آنجا که حرکت دیواره‌ها به سمت بیرون هم‌زمان با کاهش انرژی تابشی ناشی از این واقعیت است که فشار تابشی بر روی دیوارها برای دور شدن کار انجام می‌دهد، می‌توان چنین تحلیل کرد که به دلیل بازتابش از روی دیواره‌ها فشار وارده برابر است با دو برابر تکانه منتقل شده وسیله نور که معادل است با E/c. بنابراین نرخ تغییرات انرژی یا کار انجام شده با ضرب کردن سرعت گسترش در این مقدار بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }E=v\frac{2E}{c}}$

این به معنی آنست که تغییر فرکانس نور و در نتیجه تغییر انرژی آن معادل با کار انجام شده توسط فشار تابشی برای گسترش دیواره هاست و تناسب زیر برقرار است:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }f}{f}=\frac{\mathrm{\Delta }E}{E}}$

اگر چه تغییر تدریجی دیواره‌ها نباید تغییری در توزیع آماری انرژی حاصل کند، با اینحال احتمال اینکه نور با فرکانس f در این توزیع دارای انرژی E باشد باید تنها تابعی از E/f باشد. تابعی که این احتمال را مشخص می‌کند نمی‌تواند تنها با کمک قوانین ترمودینامیکی استخراج شود و شکل قانون وین تنها برای فرکانس‌های بالا معتبر است. او چنین فرض کرد که انرژی میانگین برای مدهای فرکانس بالا تحت تأثیر یک پیش فاکتور شبه- بولتزمان تضعیف می‌شوند. این مقدار در اصل کلاسیک تقسیم مساوی انرژی برای مدها که با ${\displaystyle 1/2\beta }$

${\displaystyle ⟨E_f⟩=e^{-\beta hf}}$

هنگامیکه مقدار چشمداشتی بر مقادیر مدها در کاواک اضافه شود به نام توزیع یا تقریب وین شناخته می‌شود که توزیع ترمودینامیکی انرژی را در مدهای مختلف برای یک گاز فوتون توصیف می‌کند. این توزیع به‌طور ضمنی فرض می‌کند که نور از نظر آماری از بسته‌های تشکیل شده که فرکانس و انرژی آن‌ها با وضعیت مشابهی تغییر می‌کند. به این ترتیب آنتروپی اصطلاحاً گاز وین با مقیاس حجم به توان تعداد بسته‌ها تراز می‌شود. این نتیجه اینشتین را راهنمایی کرد تا بتواند پیش‌بینی کند که نور از ذراتی با قابلیت مشخص کردن مکانی و با انرژی متناسب با فرکانس بنام فوتون تشکیل یافته و از اینجا آنتروپی گاز وین می‌تواند توصیفی آماری از تعداد وضعیتهای ممکن که فوتون‌ها در آن قرار می‌گیرند ارائه دهد.

فرض کنیم که هامیلتونی به تدریج با زمان تغییر می‌کند، مثلاً در مورد نوسانگر هماهنگ یک بعدی با تغییر در فرکانس زاویه ای:

${\displaystyle H_t(p,x)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega (t{)}^2{x}^2}{2}}$

عملگر زاویه‌ای J در یک مدار کلاسیک از نظر مقدارمعادل است با سطح محصور شده توسط مدار در فضای فاز. اگرچه عملگر J با یک انتگرال روی یک دور کامل توصیف می‌شود، با اینحال تابعی فقط از انرژی سامانه است:

${\displaystyle J={\int }_0^{T}p(t)\frac{dx}{dt}dt}$

هنگامیکه هامیلتونی با زمان تغییر نکند و عملگر J هم با زمان ثابت بماند متغیر متعارف وابستهٔ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \frac{d\theta }{dt}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }J}=H^{\prime }(J)}$

بنابراین ${\displaystyle H^{\prime }}$

${\displaystyle H^{\prime }:}$

${\displaystyle \frac{dJ}{dJ}=1={\int }_0^T(\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }J}\frac{dx}{dt}+p\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }J}\frac{dx}{dt})dt=H^{\prime }{\int }_0^T(\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }J}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta }-\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }\theta }\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }J})dt}$

انتگرال ده بنام کروشه پواسون از متغیرهای x و p معروف است. کروشه پواسون هر جفت کمیت همیوغ بُندادی مانند x و p در هر دستگاه مختصات بُندادی معادل ۱ است؛ بنابراین:

${\displaystyle 1=H^{\prime }{\int }_0^T\{x,p\}dt=H^{\prime }T}$

و در نتیجه ${\displaystyle H^{\prime }}$

ثابت بی دررو عملگر J

هامیلتونی را می‌توان تابعی از تنها یک متغیر J دانست و در حالت ساده نوسانگر همساز رابطه زیر برقرار است:

${\displaystyle H=\omega J}$

پس هنگامیکه H تابعیت زمانی نداشته باشد مقدار عملگر J با زمان تغییر نمی‌کند. با تغییر H به آهستگی در زمان تغییرات J هم از طریق انتگرال زیر قابل محاسبه است:

${\displaystyle J={\int }_0^{2\pi }p\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta }d\theta }$

مشتق زمانی این کمیت معادل است با:

${\displaystyle \frac{dJ}{dt}={\int }_0^{2\pi }(\frac{dp}{dt}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta }+p\frac{d}{dt}\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta })d\theta }$

با جایگزینی تغییرات نسبی در کمیت ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \frac{dJ}{dt}={\int }_0^{2\pi }(\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }\theta }\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta }+p\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }\theta })d\theta }$

اگر در طول زمان تناوب بتوان از تغییرات ${\displaystyle \theta }$

این خلاصه تئوری ثابت بی دررو برای عملگرهای متغیر بود. برای نوسانگر همساز سطح محدود شده در فضای فاز در مداری با انرژی E معادل با سطح بیضی با انرژی ثابت است:

${\displaystyle E=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}}$

اندازه نیم محور برای مختصه x در این بیضی معادل است با ${\displaystyle \sqrt{2E/{\omega }^{2}m}}$

پس از اینکه پلانک نشان داد که تابع توزیع وین می‌تواند برای همه فرکانس‌ها با روش برون یابی حتی برای پایینترین آن‌ها با اصل کلاسیک تقسیم مساوی انرژی گسترش یابد، فیزیکدانان بر این شدند تا رفتار سامانه‌ها را از دیدگاه کوانتومی بازبینی کنند. قانون تابش پلانک انرژی حرکتی نوسانگر را متناسب با فرکانس کوانتیده می‌کند، که با رابطه زیر نشان داده می‌شود:

${\displaystyle E=hf=\hslash \omega }$

این یک کوانتش موجه است. کوانتوم می‌تواند به انرژی (یا فرکانس) برای ثابت بی دررو بستگی داشته باشد، اگر چه انرژی باید جمع پذیر باشد هنگامیکه بسته‌های آن پشت سر هم قرار بگیرند ترازهای انرژی بایستی با فواصل مساوی تقسیم شده باشند. اینشتین پس از دبای حوزه عملکرد دانش کوانتوم را با توضیح مدهای ارتعاشی در مدل جامد اینشتین گسترش داد. این مدل توضیح می‌دهد که چرا ظرفیت گرمایی ویژه در جامدات با کاهش دما به سمت صفر میل می‌کند به جای اینکه در مقدار پیش‌بینی شده ${\displaystyle 3k_B}$

در کنفرانس سلوی این سؤال که آیا بقیه حرکت‌ها هم کوانتیده هستند مطرح شد که در پیرامون این بحث لورنتز به یک مشکل اشاره کرد. اگر شما بتوانید یک آونگ کوانتومی را توصیف کنید که ریسمان متصل به آن به آرامی کوتاه می‌شود، اعدد کوانتومی مربوط به این آونگ نمی‌توانند تغییر کنند به این دلیل که در هیچ نقطه‌ای فرکانسی به قدر کافی بالا برای ایجاد جهش بین حالتها موجود نیست. از طرف دیگر با تغییر طول ریسمان فرکانس آونگ هم تغییر می‌کند و به این ترتیب با تغییر وضعیتهای کوانتومی انرژی هم دچار تغییر می‌شود!

اینشتین پاسخ داد برای حالتی که به آهستگی ریسمان کوتاه می‌شود هم فرکانس و هم انرژی آونگ تغییر می‌کنند ولی نسبت آن‌ها ثابت می‌ماند. این وضعیت مشابه رفتار گاز فوتون وین است که با حرکت آهستهٔ دیواره نسبت انرژی به فرکانس در موج بازتابیده ثابت می‌ماند.نتیجه آنکه مقادیر کوانتیده شده به کوانتش‌ها باید ثابت بی دررو باشند.

بعدها زومرفلد با گسترش این گونه مباحث به تئوری جدیدی دست یافت: عدد کوانتومی یک سامانه مکانیکی دلخواه با عملگر متغیر بی دررو داده می‌شود. با توجه به اینکه عملگر متغیر در یک نوسانگر همساز یک عدد صحیح است، معادله عمومی چنین است:

${\displaystyle \int pdq=nh}$

این اساس و مبنای تئوری کوانتوم ابتدایی است که قادر به پیشگویی رفتار سامانه‌ها در مقیاس اتمی بود. این نظریه برای اعداد کوانتومی کوچک غیر دقیق بود از آنجا که از ترکیب اصول مکانیک کلاسیک با فرضیات کوانتوم پدید آمده بود، در عین حال نیمه راهی از گامی به سوی نظریه کوانتوم جدید محسوب می‌شد.

این بخش به عنوان بخش نهایی و تکمیلی در این بحث از این جهت آورده می‌شود که خواننده در نظر داشته باشد این امکان وجود دارد که در یک سامانه فیزیکی به‌طور هم‌زمان چند ثابت بی درو وجود داشته باشند. در فیزیک پلاسما در بحث حرکت ذرات باردار از سه کمیت زیر به عنوان ثابت بی دررو می‌توان یاد کرد.

نخستین ثابت بی دررو گشتاور مغناطیسی ${\displaystyle \mu }$

گشتاور مغناطیسی یک ذره چرخنده باردار در سیکلوترون تحت تأثیر میدان مغناطیسی ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \mu =\frac{m{v}_{\perp }^2}{2B}}$

که در آن ${\displaystyle v_{\perp }}$

• پمپاژ مغناطیسی: اگر فرکانس برخورد از فرکانس پمپ بالاتر باشد کمیت گشتاور مغناطیسی دیگر ثابت نمی‌ماند. به ویژه در نتیجه برخوردها مقداری از انرژی در راستای عمودی به انرژی موازی با میدان منتقل می‌شود که باعث داغ شدن درات پلاسما می‌شود.
• داغ شدن سیکلوترون: اگر میدان مغناطیسی متناوباً تغییر کند، موقعیت مغلوب برای ثابت بی دررو پیش می‌آید و گرم شدن سیکلوترون امکان‌پذیر است. به ویژه اگر فاز میدان الکتریکی متناوباً با برخی ذرات گردش کند وآن‌ها مداوماً راشتاب دهد.
• نوک هلال‌های مغناطیسی: میدان مغناطیسی در مرکز هلال یا خمیدگی ناپدید می‌شود و به‌طور خودکار فرکانس چرخشی سیکلوترون از آهنگ هر تغییر دیگری کوچکتر است؛ بنابراین در این وضعیت گشتاور مغناطیسی ثابت نمی‌ماند وذرات به راحتی درون مخروط گریز می‌افتند.

دومین ثابت بی دررو ${\displaystyle J}$

ثابت یا تغییرناپذیر طولی ذره‌ای که در دام یک بازتابنده مغناطیسی گیر افتاده به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle J={\int }_a^b{p}_{\parallel }ds}$

که انتگرال روی دو نقطه بازگشت گرفته می‌شود هم یک ثابت بی دررو است. این ایجاب می‌کند که به عنوان مثال ذره‌ای که روی مغناطیس‌سپهر بدور زمین حرکت می‌کند همواره بر روی خطوط نیرو جهت‌گیری کند.

سومین ثابت بی دررو ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$

کل شار مغناطیسی ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$

ویکی پدیاانگلیسی