توسیع جبری
در جبر مجرد، توسیع میدانی چون
به عنوان مثال، توسیع میدانی
تمام توسیعات متعالی، از درجه نامتناهی اند. این به نوبه خود ایجاب میکند که تمام توسیعات متناهی جبری اند. با این حال عکس این حالت صحیح نیست: یعنی توسیعات نامتناهی وجود دارند که جبری اند. به عنوان مثال، میدان تمام اعداد جبری، توسیع جبری نامتناهی از اعداد گویاست.
اگر a پوشش جبری روی K باشد، آنگاه K[a]، یعنی مجموعه تمام چندجملهایهای برحسب a که ضرایبشان در K اند، نه تنها حلقه، بلکه میدان است: توسیعی جبری از K که درجه متناهی روی K داشته باشد. عکس آن هم صحیح است، اگر K[a] میدان باشد، آنگاه a روی K جبری است. در حالت خاص که
میدانی که هیچ توسیع محضی نداشته باشد را میدان بسته جبری نامند. مثالی از چنین میدانی، اعداد مختلط اند. هر میدان دارای توسیع جبری بستهای است (به آن بستار جبری گویند). اما اثبات آن در حالت کلی نیازمند شکلی از اصل انتخاب است.
توسیع
ارجاعات
- ↑ See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
منابع
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
- Lang, Serge (1993), "V.1:Algebraic Extensions", Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
- Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1
- Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7