حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 5 دقیقه
لینک کوتاه

توزیع گمپرتز

در علم احتمالات و آمار، توزیع گمپرتز (Gompertz distribution) یک توزیع احتمال پیوسته است که به بزرگداشت بنجامین گمپرتز (۱۸۶۵–۱۷۷۹) چنین نامگذاری شده‌است. این توزیع برای توصیفِ توزیع بازهٔ زندگی بزرگسالان با کمک جمعیت‌شناسی و مرگر می‌پردازد. زمینه‌های دیگر مرتبط علمی مانند زیست‌شناسی و پیری‌شناسی نیز از توزیع گمپرتز برای تحلیل به جای ماندگان (زنده‌ها) استفاده می‌کنند. به تازگی در علوم رایانه برای مدل‌سازی نرخ شکست کدهای رایانه ای از توزیع گمپرتز استفاده می‌شود. همچنین در علم بازاریابی هم این توزیع برای شبیه‌سازی مدل ارزش طول عمر مشتری کاربرد دارد.

توزیع گمپرتز
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
پارامترها η , b > 0 {\displaystyle \eta ,b>0\,\!}
تکیه‌گاه x ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
تابع چگالی احتمال b η e b x e η exp ⁡ ( − η e b x ) {\displaystyle b\eta e^{bx}e^{\eta }\exp \left(-\eta e^{bx}\right)}
تابع توزیع تجمعی 1 − exp ⁡ ( − η ( e b x − 1 ) ) {\displaystyle 1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right)}
میانگین ( 1 / b ) e η Ei ( − η ) {\displaystyle (1/b)e^{\eta }{\text{Ei}}\left(-\eta \right)}

where Ei ( z ) = ∫ − z ∞ ( e − v / v ) d v {\displaystyle {\text{where Ei}}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{\infty }\left(e^{-v}/v\right)dv}
میانه ( 1 / b ) ln ⁡ [ ( − 1 / η ) ln ⁡ ( 1 / 2 ) + 1 ] {\displaystyle \left(1/b\right)\ln \left[\left(-1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}
مُد = ( 1 / b ) ln ⁡ ( 1 / η )   {\displaystyle =\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\ }

with  0 < F ( x ∗ ) < 1 − e − 1 = 0.632121 , 0 < η < 1 {\displaystyle {\text{with }}0<{\text{F}}\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1}

= 0 , η ≥ 1 {\displaystyle =0,\quad \eta \geq 1}
واریانس ( 1 / b ) 2 e η { − 2 η   3 F 3 ( 1 , 1 , 1 ; 2 , 2 , 2 ; − η ) + γ 2 {\displaystyle \left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\ }_{3}{\text{F}}_{3}\left(1,1,1;2,2,2;-\eta \right)+\gamma ^{2}}
+ ( π 2 / 6 ) + 2 γ ln ⁡ ( η ) + [ ln ⁡ ( η ) ] 2 − e η [ Ei ( − η ) ] 2 } {\displaystyle +\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}}

 where  γ  is the Euler constant:  γ = − ψ ( 1 ) = 0.577215...  {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ where }}&\gamma {\text{ is the Euler constant: }}\,\!\\&\gamma =-\psi \left(1\right)={\text{0.577215... }}\end{aligned}}}
 and  3 F 3 ( 1 , 1 , 1 ; 2 , 2 , 2 ; − z ) = ∑ k = 0 ∞ [ 1 / ( k + 1 ) 3 ] ( − 1 ) k ( z k / k ! ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ and }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}}
تابع مولد گشتاور E ( e − t x ) = η e η E t / b ( η ) {\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tx}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}

with E t / b ( η ) = ∫ 1 ∞ e − η v v − t / b d v ,   t > 0 {\displaystyle {\text{with E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0}

فهرست

  • ۱ ویژگی‌ها
    • ۱.۱ شکل‌ها
    • ۱.۲ واگرایی کولبک-لیبلر
  • ۲ جستارهای وابسته
  • ۳ منابع

ویژگی‌ها

توزیع گمپرتز، یک توزیع انعطاف‌پذیر است و ممکن است به راست یا چپ متمایل شود، تابع شکست آن یک تابع محدب F ( x ; η , b ) {\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}

است.

شکل‌ها

تابع چگالی گمپرتز بسته به مقدارهای مختلف پارامتر شکلی η {\displaystyle \eta \,\!}

می‌تواند شکل‌های مختلف به خود بگیرد:

  • هرگاه η ≥ 1 , {\displaystyle \eta \geq 1,\,}
    باشد، مُد تابع چگالی احتمالاتی در صفر خواهد بود.
  • هرگاه 0 < η < 1 , {\displaystyle 0<\eta <1,\,}
    مد تابع چگالی احتمالاتی به صورت زیر خواهد بود:
x ∗ = ( 1 / b ) ln ⁡ ( 1 / η ) with  0 < F ( x ∗ ) < 1 − e − 1 = 0.632121 {\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}

واگرایی کولبک-لیبلر

هرگاه f 1 {\displaystyle f_{1}}

و f 2 {\displaystyle f_{2}}
تابع‌های چگالی احتمالاتی دو توزیع گمپرتز باشند آنگاه واگرایی کولبک-لیبلر به صورت زیر خواهد بود:

D K L ( f 1 ∥ f 2 ) = ∫ 0 ∞ f 1 ( x ; b 1 , η 1 ) ln ⁡ f 1 ( x ; b 1 , η 1 ) f 2 ( x ; b 2 , η 2 ) d x = ln ⁡ e η 1 b 1 η 1 e η 2 b 2 η 2 + e η 1 [ ( b 2 b 1 − 1 ) Ei ⁡ ( − η 1 ) + η 2 η 1 b 2 b 1 Γ ( b 2 b 1 + 1 , η 1 ) ] − ( η 1 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}

در رابطهٔ بالا، Γ ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}

تابع گامای ناکامل بالایی و Ei ⁡ ( ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}
انتگرال نمایی است.

جستارهای وابسته

  • ارزش طول عمر مشتری

منابع

  1. ↑ Vaupel, James W. (1986). "How change in age-specific mortality affects life expectancy". Population Studies. 40 (1): 147–157. doi:10.1080/0032472031000141896.
  2. ↑ Preston, Samuel H.; Heuveline, Patrick; Guillot, Michel (2001). Demography:measuring and modeling population processes. Oxford: Blackwell.
  3. ↑ Benjamin, Bernard; Haycocks, H.W.; Pollard, J. (1980). The Analysis of Mortality and Other Actuarial Statistics. London: Heinemann.
  4. ↑ Willemse, W. J.; Koppelaar, H. (2000). "Knowledge elicitation of Gompertz' law of mortality". Scandinavian Actuarial Journal (2): 168–179.
  5. ↑ Economos, A. (1982). "Rate of aging, rate of dying and the mechanism of mortality". Archives of Gerontology and Geriatrics. 1 (1): 46–51.
  6. ↑ Brown, K.; Forbes, W. (1974). "A mathematical model of aging processes". Journal of Gerontology. 29 (1): 46–51. doi:10.1093/geronj/29.1.46.
  7. ↑ Ohishi, K.; Okamura, H.; Dohi, T. (2009). "Gompertz software reliability model: estimation algorithm and empirical validation". Journal of Systems and Software. 82 (3): 535–543. doi:10.1016/j.jss.2008.11.840.
  8. ↑ Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). "Modeling Purchasing Behavior With Sudden 'Death': A Flexible Customer Lifetime Model". Management Science. 58 (5): 1012–1021. doi:10.1287/mnsc.1110.1461.
  9. ↑ Bauckhage, C. (2014), Characterizations and Kullback-Leibler Divergence of Gompertz Distributions, arXiv:1402.3193.
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.