آهنگ خرابی

تعداد کل شکست‌ها (خرابی ها) برای یک جمعیت، تقسیم بر مجموع مدت زمان صرف شده توسط این جمعیت، در طول یک بازه اندازه‌گیری خاص تحت شرایط معین.

همچنین آهنگ شکست ${\displaystyle \lambda (t)}$

آهنگ شکست در اصل یک احتمال نیست، زیرا مقدار آن می‌تواند از یک فراتر رود، پس بیان کردن آن به درصد اشتباه خواهد بود، بخصوص اگر آهنگ شکست ما متغیر باشد.

به همین دلیل تابع آهنگ شکست به صورت زیر تعریف می‌شود

فرض می کنیم متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\lambda }_X(t)dt=\text{P}\left\{X\in (t,t+dt)|X>t\right\}=\frac{\text{P}\{X\in (t,t+dt)\cap X>t\}}{\text{P}\{X>t\}}=\frac{\text{P}\{X\in (t,t+dt)\}}{\text{P}\{X>t\}}=\frac{f_X(t)dt}{1-F_X(t)}}$

در نتیجه تابع آهنگ شکست تعریف می‌شود

${\displaystyle {\lambda }_X(t)\triangleq \frac{f_X(t)}{1-F_X(t)}}$

بسیاری از توابع احتمال را می‌توان برای مدل کردن آهنگ شکست به کار برد. رایج‌ترین این توابع، تابع توزیع نمایی است :

${\displaystyle {\lambda }_X(t)=\frac{f_X(t)}{1-F_X(t)}=\frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}=\lambda }$

باید توجه داشت که با در اختیار داشتن تابع آهنگ شکست می‌توان تابع چگالی احتمال و توزیع تجمعی را محاسبه کرد

${\displaystyle F_X(x)=1-e^{-{\int }_0^x{\lambda }_X(t)dt}}$

${\displaystyle f_X(x)=\frac{d{F}_X(x)}{dx}}$

فرض کنیم آهنگ مرگ و میر افراد سیگاری در هر زمان دو برابر آهنگ مرگ و میر افراد غیر سیگاری است. اگر یک شخص سیگاری و یک شخص غیر سیگاری a سال عمر کرده باشند، احتمال اینکه فرد غیر سیگاری b سال عمر کنند چند برابر آن است که فرد سیگاری b سال عمر کنند ؟

فرض کنیم ${\displaystyle L_k^s}$

${\displaystyle \text{P}(L_b^s|L_a^s)=\frac{\text{P}(L_b^s\cap L_a^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{\text{P}(L_b^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{1-F_{X,s}(b)}{1-F_{X,s}(a)}=e^{-{\int }_a^b{\lambda }_{X,s}(t)dt}}$

که ${\displaystyle F_{X,s}(x)}$

${\displaystyle \text{P}(L_b^{ns}|L_a^{ns})=e^{-{\int }_a^b{\lambda }_{X,ns}(t)dt}}$

که ${\displaystyle {\lambda }_{X,ns}(t)}$

${\displaystyle {\lambda }_{X,s}(t)=2{\lambda }_{X,ns}(t)}$

در نتیجه

${\displaystyle P(L_b^{ns}|L_a^{ns})=e^{-{\int }_a^b{\lambda }_{X,ns}(t)dt}=e^{-{\int }_a^b\frac{1}{2}{\lambda }_{X,s}(t)dt}={\left(e^{-{\int }_a^b{\lambda }_{X,s}(t)dt}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\text{P}(L_b^s|L_a^s)\right)}^{\frac{1}{2}}}$

پس می‌توان نتیجه گرفت احتمال مردن برای فرد سیگاری توان دوم احتمال مردن برای فرد غیر سیگاری است .

• http://en.wikipedia.org/wiki/Failure_rate
• A. Papulis, Probability and Statistics, Prentice Hall, 1990