تبدیل فوریه کوانتومی

تبدیل فوریه کوانتومی همان تبدیل فوریه گسسته کلاسیک است که به بردار دامنه‌های یک حالت کوانتومی اعمال شده‌است. تبدیل فوریه کلاسیک گسسته روی یک بردار در ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}x_{j}\omega ^{jk}}$

که ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{N}}}$

به طور مشابه ٬تبدیل فوریه کوانتومی، بر روی حالت کوانتومیِ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}x_{i}|i\rangle }$

${\displaystyle y_{k}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j=0}^{N-1}x_{j}\omega ^{jk}.}$

این رابطه را به صورت نگاشت زیر نیز می‌توان نشان داد:

${\displaystyle |j\rangle \mapsto {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k=0}^{N-1}\omega ^{jk}|k\rangle .}$

به طور هم‌ارز ٬تبدیل فوریه کوانتومی، را می‌توان به عنوان یک ماتریس یکانی که بر روی بردار حالت‌های کوانتومی عمل می‌کند نشان داد. این ماتریس (${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\cdots &\omega ^{3(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\omega ^{3(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}.}$

بیشتر خواص تبدیل فوریه کوانتومی از اینکه این تبدیل یک تبدیل یکانی (unitary transformation) است نتیجه می‌شوند. این مسئله را می‌توان با انجام ضرب ماتریسی ${\displaystyle FF^{\dagger }=F^{\dagger }F=I}$

از ویژگی یکانی نتیجه می‌شود که معکوس تبدیل فوریه کوانتومی Hermitian adjoint ماتریس فوریه است، یعنی ${\displaystyle F^{-1}=F^{\dagger }}$