تبدیل انتگرالی

در ریاضیات، تبدیل انتگرالی هر تبدیلی به شکل زیر می‌باشد:

$(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt.$

که ورودی این تبدیل تابع $f$

و خروجی آن تابع

T f

است. به تابع دو متغیره

K

هسته تبدیل گفته می‌شود. تابع هسته اساس تبدیل انتگرالی است که در انواع تبدیلات این هسته تعیین‌کننده نوع نگاشت است. تابع هسته دارای دو متغیر می‌باشد که u مشخصه و متغیر اصلی هسته است. تبدیلات لاپلاس و فوریه از جمله معروفترین تبدیلات انتگرالی می‌باشند.

جدول تبدیلات

Table of integral transforms
تبدیل	نشان	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
تبدیل فوریه	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
تبدیل سینوسی فوریه	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
تبدیل کسینوسی فوریه	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
تبدیل هارتلی	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
تبدیل ملین	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
تبدیل لاپلاس دوسویه	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
تبدیل لاپلاس	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
تبدیل وایرشتراس	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
تبدیل هنکل		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
تبدیل آبل		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u\,$	$\infty \,$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t\,$	$\infty \,$
تبدیل هیلبرت	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
کرنل پواسون		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0\,$	$2\pi \,$
تبدیل همانی		$\delta (u-t)\,$	$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$