تانسور تنش ماکسول

با استفاده از معادلات ماکسول و قانون نیروی لورنتز، به یک رابطه برای نیروی در واحد حجم وارد بر یک توزیع بار دلخواه می‌رسیم، که معادلهٔ نسبتاً پیچیده‌ای است. با معرفی تانسور تنش ماکسول به صورتی که در زیر می‌آید هم معادلات به صورت زیباتری نوشته می‌شوند و هم به رابطه‌ای مشابه رابطهٔ پایستگی انرژی در الکترومغناطیس، برای تکانه می‌ٰرسیم و مفهوم تکانهٔ ذخیره شده در میدان‌ها را معرفی می‌کنیم.

معادلات ماکسول در خلأ در دستگاه SI

نام	فرم دیفرانسیلی
قانون گاوس (در خلأ)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$
ــ	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
قانون فاراده (معادله ماکسول-فارادی)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
قانون آمپر (در خلأ) (با تصحیح ماکسول)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

۱. از قانون لورنتز، نیروی در واحد حجم برای یک توزیع بار دلخواه چنین است:

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

۲. حال از معادلات ماکسول در بالا٬ توزیع‌های چشمه (جریان و بار) را با میدان‌ها جایگزین می‌کنیم:

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \,}$

۳. با استفاده از رابطه

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,}$

می‌توان نیرو را چنین بازنویسی کرد:

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\,}$

۴. با مقایسه قسمت اول (شامل E ) با قسمت دوم (شامل B )، یک جمله در قسمت دوم گمشده به نظر می‌رسد که با استفاده از معادلات ماکسول (رابطهٔ دوم در جدول بالا ) در نتیجه، با افزودن B)B•∇) قابل جبران‌سازی است. با استفاده از اتحاد برداری

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

می‌شود معادله نیرو را چنین نوشت:

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\,}$

این معادله، معادلهٔ نهایی برای نیروی الکترومغناطیسی و دربرگیرندهٔ همهٔ جنبه‌های فیزیکی مسئله است، اما می‌توان این معادله را به صورت بسیار فشرده‌تر و زیباتر با استفاده از تانسورها نمایش داد. تانسور تنش ماکسول را چنین معرفی می‌کنیم:

${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,}$

و معادلهٔ نیرو در بالا را با استفاده از تانسور تنش ماکسول بازنویسی می‌کنیم:

با استفاده از تشابه با قضیه پوئینتینگ٬ جملهٔ دارای مشتق زمانی را می‌توان به عنوان آهنگ تغییر تکانهٔ میدان الکترومغناطیسی تعبیر کرد. در این صورت، معادلهٔ بالا معادلهٔ پایستگی تکانه در الکترودینامیک کلاسیک خواهد بود که در آن از بردار پوئینتینگ استفاده شده است:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

در رابطهٔ بالا برای پایستگی تکانه، ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\sigma } }$

• بردار پوئینتینگ
• قضیه پوئینتینگ