حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

تابع متقارن

در ریاضیات، تابعی از n متغیر، متقارن است اگر مقدار آن در هر n-تایی از آرگومان ها (جایگشت مختلف از n-تایی ها) یکسان باشد. بنابراین، اگر f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 )، تابع می‌تواند روی همه متغیرهایش یا تنها روی (x1,x2)، (x2,x3) یا (x1,x3 ) نامتقارن باشد.

نمونه ها

  • برای تابع
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}
با توجه به تعریف، تابع نامتقارن با n متغیر باید ویژگی زیر را داشته باشد
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = f ( x 2 , x 1 , . . . , x n ) = f ( x 3 , x 1 , . . . , x n , x n − 1 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})}
etc.
عموما، تابع برای هر جایگشت از متغیرهایش مقدار یکسانی خواهد داشت. یعنی
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 3 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}
برای همه جایگشت های x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
  • برای تابع
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}
اگر x و y جابجا شوند، حاصل می شود
f ( y , x ) = y 2 + x 2 − r 2 {\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}
که نتیجه یکسانی با تابع اصلی f(x,y) خواهد داشت
  • برای تابع
f ( x , y ) = a x 2 + b y 2 − r 2 {\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}}
اگر x و y جابجا شوند، حاصل می شود
f ( y , x ) = a y 2 + b x 2 − r 2 . {\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}
مقدار تابع با مقدار تابع اصلی اگر a ≠ b یکسان نیست، در نتیجه این تابع نامتقارن است.

منابع

  • F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, انتشارات دانشگاه کمبریج.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4 .
آخرین نظرات
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.