تابع شمارش اعداد اول

در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر توانستند تقریب دقیق ${\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}$

با تعریف تابع انتگرال لگاریتم که آن را با نماد ${\displaystyle li(x)}$

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;}$

ثابت شد که:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \pi (x)}$	${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱
۱۰	۲۵	۱٫۱۵۱
۱۰	۱۶۸	۱٫۱۶۱
۱۰	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲
۱۰	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴
۱۰	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴
۱۰	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱
۱۰	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱
۱۰	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴
۱۰	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸
۱۰	۴٬۱۱۸٬۰۵۴٬۸۱۳	۱٫۰۴۳
۱۰	۳۷٬۶۰۷٬۹۱۲٬۰۱۸	۱٫۰۳۹
۱۰	۳۴۶٬۰۶۵٬۵۳۶٬۸۳۹	۱٫۰۳۴
۱۰	۳٬۲۰۴٬۹۴۱٬۷۵۰٬۸۰۲	۱٫۰۳۳
۱۰	۲۹٬۸۴۴٬۵۷۰٬۴۲۲٬۶۶۹	۱٫۰۳۱
۱۰	۲۷۹٬۲۳۸٬۳۴۱٬۰۳۳٬۹۲۵	۱٫۰۲۹
۱۰	۲٬۶۲۳٬۵۵۷٬۱۵۷٬۶۵۴٬۲۳۳	۱٫۰۲۷
۱۰	۲۴٬۷۳۹٬۹۵۴٬۲۸۷٬۷۴۰٬۸۶۰	۱٫۰۲۵
۱۰	۲۳۴٬۰۵۷٬۶۶۷٬۲۷۶٬۳۴۴٬۶۰۷	۱٫۰۲۴
۱۰	۲٬۲۲۰٬۸۱۹٬۶۰۲٬۵۶۰٬۹۱۸٬۸۴۰	۱٫۰۲۳
۱۰	۲۱٬۱۲۷٬۲۶۹٬۴۸۶٬۰۱۸٬۷۳۱٬۹۲۸	۱٫۰۲۲
۱۰	۲۰۱٬۴۶۷٬۲۸۶٬۶۸۹٬۳۱۵٬۹۰۶٬۲۹۰	۱٫۰۲۱
۱۰	۱٬۹۲۵٬۳۲۰٬۳۹۱٬۶۰۶٬۸۰۳٬۹۶۸٬۹۲۳	۱٫۰۲۰
۱۰	۱۸٬۴۳۵٬۵۹۹٬۷۶۷٬۳۴۹٬۲۰۰٬۸۶۷٬۸۶۶	۱٫۰۱۹
۱۰	۱۷۶٬۸۴۶٬۳۰۹٬۳۹۹٬۱۴۳٬۷۶۹٬۴۱۱٬۶۸۰	۱٫۰۱۸

همانطور که مشاهده می‌شود اعداد به ۱ نزدیک می‌شوند.

ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}}$

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-(1+\varepsilon )}}.}$

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime-counting_function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.