تابع انتگرال لگاریتم

تابع انتگرال لگاریتم را با نماد ${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{i}(x)}$

${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{i}(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\ln t}.}$

تابع انتگرال لگاریتم را می توان به صورت چندین سری مختلف نمایش داد.برای مثال:

${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln \ln x+\sqrt{x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(\ln x{)}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.}$

که در اینجا γ ثابت اویلر نام دارد و حدوداً برابر است با γ ≈ 0.57721 56649 01532

برای این تابع هم ارزی های مختلفی وجود دارد از جمله

${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{i}(x)=O\left(\frac{x}{\ln x}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{l}\mathrm{i}(x)\sim \frac{x}{\ln x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(\ln x{)}^k}}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{i}(x)}{x/\ln x}\sim 1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{(\ln x{)}^2}+\frac{6}{(\ln x{)}^3}+\cdots }$

تابع آفست انتگرال لگاریتم را با نماد ${\displaystyle \mathrm{L}\mathrm{i}(x)}$

${\displaystyle \mathrm{L}\mathrm{i}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\ln t}=\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(2)}$

این تابع در ریاضیات گسسته و نظریه اعداد اول کاربرد قابل توجهی را دارا می باشد مثلاً ثابت شده است که :

${\displaystyle \pi (x)\sim \mathrm{Li}(x)}$

که در آن ${\displaystyle \pi (x)}$

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Logarithmic integral function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.