توابع زوج و فرد

فرض می‌کنیم ‎f(x)‎ تابعی حقیقی باشد. آن‌گاه f، زوج است اگر رابطهٔ زیر برای تمام xهای در دامنهٔ f برقرار باشد:

‎:${\displaystyle f(x)=f(-x).}$

به طور هندسی، یک تابع زوج، نسبت به محور yها قرینه است، که معنی آن این است که با بازتاباندن هر قسمتی از تابع نسبت به محور yها، تابع بدون تغییر بماند.

مثال‌هایی از توابع زوج، تابع ثابت ‎f(x) = c‎، ‎x‎، ‎x‎، ‎cos(x)‎، و ‎cosh(x)‎ می‌باشند.

فرض می‌کنیم ‎f(x)‎ تابعی حقیقی باشد. آن‌گاه f، فرد است اگر رابطهٔ زیر برای تمام xهای در دامنهٔ f برقرار باشد:

‎:${\displaystyle -f(x)=f(-x).}$

به طور هندسی، یک تابع فرد، نسبت به مبدأ مختصات تقارن دارد، که معنی آن این است که تابع بعد از چرخشی ۱۸۰ درجه‌ای، بدون تغییر می‌ماند. در واقع مبدا مختصات نقطه عطف این نوع تابع ها می باشد.

مثال‌هایی از تابع فرد، تابع همانی ‎ f(x) = x‎، ‎x‎، ‎sin(x)‎ و ‎sinh(x)‎ می‌باشند.

• تنها تابعی که هم زوج و هم فرد است، تابع ثابت صفر است. (برای مثال برای هر x داریم: f(x) = ۰)
• مجموع یک تابع زوج و یک تابع فرد، نه زوج است نه فرد، مگر یکی از آن‌ها عیناً صفر باشد.
• مجموع دو تابع زوج، تابعی زوج است، و حاصلضرب هر عدد ثابت در یک تابع زوج، زوج است.
• مجموع دو تابع فرد، تابعی فرد است، و حاصلضرب هر عدد ثابت در یک تابع فرد، فرد است.
• حاصل‌ضرب دو تابع زوج، تابعی زوج است.
• حاصل‌ضرب دو تابع فرد، تابعی زوج است.
• حاصل‌ضرب یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی فرد است.
• حاصل تقسیم دو تابع زوج، تابعی زوج است.
• حاصل تقسیم دو تابع فرد، تابعی زوج است.
• حاصل تقسیم یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی فرد است.
• مشتق یک تابع زوج، تابعی فرد است.
• مشتق یک تابع فرد، تابعی زوج است.
• ترکیب دو تابع زوج، تابعی زوج است، و ترکیب دو تابع فرد، تابعی فرد است.
• ترکیب یک تابع زوج و یک تابع فرد، تابعی زوج است.
• ترکیب هر تعداد تابعی که در میان آن‌ها حداقل یک تابع زوج وجود داشته باشد، تابعی زوج است (اما نه به عکس).
• انتگرال یک تابع فرد از A- تا A+، صفر است (در صورتی که A کران‌دار باشد، و تابع در فاصلهٔ A- تا A+، هیچ مجانب قائمی نداشته باشد).
• انتگرال یک تابع زوج از A- تا A+، دوبرابر انتگرال از ۰ تا A+ است (در صورتی که A کران‌دار باشد، و تابع در فاصلهٔ A- تا A+، هیچ مجانب قائمی نداشته باشد) .

• تابع هرمیتی بسط این مفهوم با مقادیر مختلط
• بسط تیلور
• سری فوریه