تئوری تیر تیموشنکو

در حالت بارگذاری استاتیکی در تئوری تیر تیموشنکو و بدون در نظر گرفتن نیروهای محوری، فرض می‌شود که تغییر مکان از رابطه زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle u_x(x,y,z)=-z\phi (x);u_y(x,y,z)=0;u_z(x,y)=w(x)}$

اگر ${\displaystyle (x,y,z)}$

معادلات حاکم بر مسئله که از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی هستند از این قرار خواهند بود:

تئوری تیر تیموشنکو در حالت استاتیکی و در صورتی که طرف راست معادله فوق ناچیز در نظر گرفته شود با تئوری اویلر-برنولی برابر خواهد بود. این برابری تنها با وجود شرط زیر برقرار است:

${\displaystyle \frac{EI}{\kappa L^{2}AG}\ll 1}$

که در عبارت فوق:

• ${\displaystyle L}$
  طول تیر
• ${\displaystyle A}$
  سطح مقطع تیر
• ${\displaystyle E}$
  مدول الاستیسیته تیر
• ${\displaystyle G}$
  مدول برشی تیر
• ${\displaystyle I}$
  گشتاور دوم سطح تیر
• و ${\displaystyle \kappa }$
  ضریب برش تیموشنکو است که به سطح مقطع تیر بستگی دارد. این عدد برای مقاطع مستطیلی برابر با ${\displaystyle \kappa =5/6}$
  است.

با ترکیب دو معادله فوق برای یک تیر همگن با سطح مقطع ثابت خواهیم داشت:

${\displaystyle EI\frac{{\mathrm{d}}^{4}w}{\mathrm{d}{x}^4}=q(x)-\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{d}}^{2}q}{\mathrm{d}{x}^2}}$

لنگر خمشی ${\displaystyle M_{xx}}$

${\displaystyle M_{xx}=-EI\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }x}\text{and}{Q}_x=\kappa AG\left(-\phi +\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}\right).}$

دو معادلهٔ تغییر شکل در تیر تیموشنکو، توسط شرایط مرزی مسئله قابل حل خواهند شد. برای حل دقیق این معادلات به چهار شرط مرزی نیاز است. انواع شرایط مرزی قابل اعمال بر مسئله به صورت زیر خواهد بود:

• تیرهای دارای تکیه گاه مفصلی در دو انتها:

1. تغییر مکان ${\displaystyle w}$
   در دو انتهای تیر (در محل تکیه گاه‌ها) برابر صفر است.
2. لنگر خمشی اعمال شده به تیر ${\displaystyle M_{xx}}$
   باید معلوم باشد.
3. نیروی برشی ${\displaystyle Q_x}$
   و میزان چرخش ${\displaystyle \phi }$
   تعیین نشده‌است.

• تیرهای دارای تکیه گاه گیردار :

1. تغییرمکان ${\displaystyle w}$
   و زاویه چرخش ${\displaystyle \phi }$
   در محل تکیه گاه صفر است.
2. اگر یک انتهای تیر آزاد باشد (مانند تیر یک سر در گیر یا تیر کنسول) آنگاه نیروی برشی ${\displaystyle Q_x}$
   و لنگر خمشی ${\displaystyle M_{xx}}$
   باید معلوم باشد.

مثال: تیر کنسول

همانطور که می‌دانید در یک تیر کنسول یک سر تیر دارای تکیه گاه گیردار بوده و انتهای دیگر تیر آزاد است. دستگاه مختصات را در سمت چپ تیر و در انتهای آزاد آن مستقر می‌کنیم. در این حالت جهت مثبت ${\displaystyle x}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0⟹M_{xx}=-Px}$

و

${\displaystyle P+Q_x=0⟹Q_x=-P.}$

در نتیجه با توجه به روابط لنگر خمشی و نیروی برشی داریم:

${\displaystyle Px=EI\frac{d\phi }{dx}\text{and}-P=\kappa AG\left(-\phi +\frac{dw}{dx}\right).}$

با انتگرال گیری از معادله اول و اعمال شرط مرزی ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \phi (x)=-\frac{P}{2EI}(L^2-x^2).}$

همچنین معادله دوم را نیز می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

${\displaystyle \frac{dw}{dx}=-\frac{P}{\kappa AG}-\frac{P}{2EI}(L^2-x^2).}$

که با انتگرال‌گیری و اعمال شرط مرزی ${\displaystyle w=0}$

${\displaystyle w(x)=\frac{P(L-x)}{\kappa AG}-\frac{Px}{2EI}\left(L^2-\frac{x^2}{3}\right)+\frac{P{L}^3}{3EI}.}$

و در نهایت تنش محوری نیز از رابطه زیر بدست خواهد آمد:

${\displaystyle {\sigma }_{xx}(x,z)=E{\epsilon }_{xx}=-Ez\frac{d\phi }{dx}=-\frac{Pxz}{I}=\frac{M_{xx}z}{I}.}$

در تئوری تیر تیموشنکو بدون در نظر گرفتن اثرات محوری، تغییر مکان تیر با توجه به زمان براساس رابطه زیر محاسبه می‌گردد:

${\displaystyle u_x(x,y,z,t)=-z\phi (x,t);u_y(x,y,z,t)=0;u_z(x,y,z,t)=w(x,t)}$

در این رابطه، ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \rho A\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{t}^2}-q(x,t)=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left[\kappa AG\left(\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}-\phi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I\frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{t}^2}=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\left(EI\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\mathrm{\partial }w}{\mathrm{\partial }x}-\phi \right)}$

در معادلات فوق متغیرهای وابسته ${\displaystyle w(x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$
  چگالی مصالح تیر (توجه شود که منظور چگالی خطی تیر نیست)
• ${\displaystyle A}$
  مساحت سطح مقطع تیر.
• ${\displaystyle E}$
  مدول الاستیسیته.
• ${\displaystyle G}$
  مدول برشی.
• ${\displaystyle I}$
  گشتاور دوم سطح.
• ${\displaystyle \kappa }$
  ضریب برش تیموشنکو است که به سطح مقطع تیر بستگی دارد. این عدد برای مقاطع مستطیلی برابر با ${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$
  بار توزیع شده (نیرو بر سطح).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$

که البته این مقادیر الزاماً ثابت نیستند. برای یک تیر الاستیک خطی ایزوتروپیک همگن با مقطع ثابت می‌توان با ترکیب دو معادله فوق، معادله زیر را بدست آورد:

${\displaystyle EI\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^4}+m\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\left(J+\frac{EIm}{kAG}\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}+\frac{mJ}{kAG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{t}^4}=q(x,t)+\frac{J}{kAG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{EI}{kAG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$

روش بدست آوردن معادله فوق به زبان اصلی

The equations governing the bending of a homogeneous Timoshenko beam of constant cross-section are From equation (1), assuming appropriate smoothness, we have From (3), assuming appropriate smoothness, ${\displaystyle (5)\frac{{\mathrm{\partial }}^3\phi }{\mathrm{\partial }{x}^3}=-\frac{m}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^4}+\frac{1}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{x}^2}}$ Differentiating equation (2) gives ${\displaystyle (6)\frac{{\mathrm{\partial }}^3\phi }{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }{t}^2}=\frac{EI}{J}\frac{{\mathrm{\partial }}^3\phi }{\mathrm{\partial }{x}^3}+\frac{\kappa AG}{J}\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{x}^2}-\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }x}\right)}$ From equations (4) and (6) ${\displaystyle (7)\frac{1}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{m}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{t}^4}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}=\frac{EI}{J}\frac{{\mathrm{\partial }}^3\phi }{\mathrm{\partial }{x}^3}+\frac{\kappa AG}{J}\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{x}^2}-\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }x}\right)}$ From equations (3) and (7) ${\displaystyle (8)\frac{1}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{m}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{t}^4}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}=\frac{EI}{J}\frac{{\mathrm{\partial }}^3\phi }{\mathrm{\partial }{x}^3}+\frac{m}{J}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{q}{J}}$ Plugging equation (5) into (8) gives ${\displaystyle (9)\frac{J}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{mJ}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{t}^4}+J\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}=-\frac{mEI}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}+EI\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^4}+\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{x}^2}+m\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{t}^2}-q}$ Rearrange to get ${\displaystyle EI\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^4}+m\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}w}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\left(J+\frac{mEI}{\kappa AG}\right)\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{x}^2\mathrm{\partial }{t}^2}+\frac{mJ}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{4}w}{\mathrm{\partial }{t}^4}=q+\frac{J}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{EI}{\kappa AG}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}q}{\mathrm{\partial }{x}^2}◻}$

اثرات محوری

برای مشاهدهٔ اثرات محوری در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.

میرایی

برای مشاهدهٔ میرایی در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.

برای مشاهدهٔ ضریب در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.