برش ددکیند

یک برش ددکیند افرازی از اعداد گویا (${\displaystyle \mathbb{Q}}$

1. ${\displaystyle A}$
   ناتهی ست.
2. ${\displaystyle A\ne \mathbb{Q}}$
   .
3. اگر ${\displaystyle x,y\in \mathbb{Q}}$
   ،
   و ${\displaystyle y\in A}$
   ، آنگاه ${\displaystyle x\in A}$
   (${\displaystyle A}$
   به پایین بسته است).
4. اگر ${\displaystyle x\in A}$
   , آنگاه یک ${\displaystyle y\in A}$
   وجود دارد به نحوی که ${\displaystyle y>x}$
   (${\displaystyle A}$
   دارای هیچ بزرگترین عضو نیست).

با حذف دو مورد ابتدایی، آنچه حاصل می‌شود محور اعداد حقیقی گسترده‌شده است.

یک برش ددکیند (A, B) را کوچکتر از یک برش دیگر (C, D) در نظر می‌گیریم اگر A زیرمجموعهٔ سره‌ای از C باشد. این شرط معادل است با این که D زیرمجموعهٔ سره‌ای از B باشد.

مجموعه همه برش‌های ددکیند خود یک مجموعه با ترتیب خطی است. همچنین مجموعه همه برش‌های ددکیند دارای ویژگی کوچکترین کران بالایی است؛ یعنی هر زیرمجموعه ناتهی که دارای یک کران بالایی است، یک کوچکترین کران بالایی دارد؛ بنابراین ساختن مجموعه برش‌های ددکیند باعث می‌شود مجموعه مرتب اولیه، که ممکن است دارای ویژگی کوچکترین کران بالایی نباشد، داخل یک مجموعه با ترتیب خطی که دارای این ویژگی کاربردی است قرار بگیرد.

عمل جمع برای مجموعه برش‌های ددکیند را می‌توان بر اساس عمل جمع اعداد گویا به این شیوه تعریف کرد: ${\displaystyle x{+}_{\mathbb{R}}y=\{q+r|q\in x\mathrm{\&}r\in y\}}$

• اندرتون، هربرت.. اصول نظریهٔ مجموعه‌ها. ترجمهٔ مهرداد مشهدی‌رضا کاشانی. تهران: انتشارات فاطمی، ۱۳۹۶.