انرژی ویژه مداری

برای یک مدار بیضوی هنگامی که معادلهٔ انرژی ویژه مداری با پایستگی تکانه زاویه‌ای ویژه ترکیب شده و در یکی از نقاط اوج یا حضیص مداری نوشته شود به صورت زیر ساده خواهد شد:

${\displaystyle ϵ=-\frac{\mu }{2a}}$

که در آن ${\displaystyle \mu =G(m_1+m_2)}$

${\displaystyle ϵ=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}}$

از آنجا که این معادلا برای تمامی نقاط مداری صدق می‌کنند می‌توان آن را برای یک نقطه خاص مثلاً نقطه حضیض مداری بکار برد با توجه به اینکه این نقطه ویژه یک نقطهٔ عطف یا بازگشت منحنی است و بردار سرعت مداری هیچ مؤلفهٔ شعاعی ندارد و تنها شامل مؤلفهٔ مماسی است بر بردار شعاع عمود است می‌توان رابطهٔ ${\displaystyle h=v_p{r}_p}$

${\displaystyle v_p^2=\frac{h^2}{{rp}^2}=\frac{h^2}{{a^2(1-e)}^2}=\frac{\mu a(1-e^2)}{{a^2(1-e)}^2}=\frac{\mu (1-e^2)}{{a(1-e)}^2}}$

و با بازنویسی رابطه انرژی برای حضیض مداری ادامه می‌دهیم:

${\displaystyle ϵ=\frac{v_p^2}{2}-\frac{\mu }{r_p}=\frac{\mu }{a}\left[\frac{(1-e^2)}{{2(1-e)}^2}-\frac{1}{(1-e)}\right]=\frac{\mu }{a}\left[\frac{(1-e)(1+e)}{{2(1-e)}^2}-\frac{1}{(1-e)}\right]}$

${\displaystyle =\frac{\mu }{a}\left[\frac{(1+e)}{2(1-e)}-\frac{2}{2(1-e)}\right]=\frac{\mu }{a}\left[\frac{e-1}{2(1-e)}\right]=-\frac{\mu }{2a}}$

برای یک مدار سهمی این معادله به صورت حدی ${\displaystyle ϵ=0}$

${\displaystyle 2ϵ=C_3=v_{\mathrm{\infty }}^2}$

که در مأموریتهای بین سیاره‌ای کاربرد دارد.

خلاصه آنکه اگر بردار شعاع مداری (${\displaystyle \mathbf{r}}$

برای یک مدار بیضوی که اندازهٔ نیم محور بزرگ در آن ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \frac{\mu }{2a^2}}$

که در آن ${\displaystyle \mu }$

به ویژه در حالت مدار دایره‌ای، این آهنگ معادل است با نصف شتاب جاذبه محلی یعنی شتاب سقوط برای جسمی در فاصله‌ای به دوری مدار؛ این نتیجه مرتبط است به این حقیقت که برای یک مدار دایره‌ای انرژی کل معادل است با نصف انرژی پتانسیل، با این توجه که انرژی جنبشی خود برابر با منهای یک دوم انرژی پتانسیل است.

اگر جسم مرکزی دارای شعاع ${\displaystyle R}$

${\displaystyle -\frac{\mu }{2a}-(-\frac{\mu }{R})=-\frac{\mu }{2a}+\frac{\mu }{R}=\frac{\mu (2a-R)}{2aR}}$

• این انرژی برای اجسام نزدیک زمین تا اندکی از سطح ${\displaystyle R/2}$
  بالاتر رابطهٔ بالا به صورت ساده‌تر ${\displaystyle (2a-R)g}$
  در می‌آید؛ مقدار کمیت ${\displaystyle 2a-R}$
  درست برابر ارتفاع مدار بیضوی کشیده شده تا سطح به اضافه مسافت حضیضی (مسافت کشیده شده بسمت خارج از مرکز زمین تا مدار بیضوی)، که مقدار اخیر ضربدر شتاب جاذبه معادل با انرژی جنبشی مؤلفه افقی سرعت مداری است.

ایستگاه فضایی بین‌المللی(ISS)

ایستگاه فضایی بین‌المللی داری دوره تناوب ۹۱٬۷۴ دقیقه معادل با تقریباً ۵۵۰۴ ثانیه است، بنابراین نیم محور بزرگ مداری معادل با ۶۷۳۸ متر دارد. انرژی ویژه مداری ${\displaystyle MJ/kg}$

در فاصله ${\displaystyle km}$

انرژی ${\displaystyle MJ/kg}$

نرخ افزایش انرژی ${\displaystyle J/kg}$

با اکتساب چرخش زمین برای آغاز از استوا مقدار تغییر سرعت چیزی حدود ${\displaystyle km/s}$

وویجر ۱

برای وویجر ۱، نسبت به خورشید با پارامتر گرانشی استاندارد: kms ۱۳۲٬۷۱۲٬۴۴۰٬۰۱۸ = ${\displaystyle \mu =GM}$

و شعاع r = ۱۷ میلیارد کیلومتر و سرعت v = ۱۷٬۱ km/s

${\displaystyle ϵ={ϵ}_k+{ϵ}_p=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu }{r}}$

${\displaystyle =146k{m}^2{s}^{-2}-8k{m}^2{s}^{-2}=138k{m}^2{s}^{-2}}$

سرعت فرا حدی هذلولوی در این مدار (سرعت فرضی در بی‌نهایت دور) در نتیجه به صورت زیر است:

${\displaystyle v_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{2\times 138k{m}^2{s}^{-2}}=16.6km/s}$

فرض کنید:

• a شتاب مربوط به نیروی پیشران
• g شتاب گرانشی
• v سرعت راکت

به این ترتیب آهنگ تغییر انرژی ویژه راکت ${\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{a}}$

تغییر انرژی ویژه راکت بازا واحد تغییر در تغییر سرعت معادل است با:

${\displaystyle \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}}$

که هم ارز است با حاصلضرب اندازهٔ بردار سرعت v وکسینوس زاویه‌ای که با جهت بردار شتاب a می‌سازد.

بنابراین هنگامی که سرعت و شتاب هم جهت باشند و اندازه یا مقدار سرعت نسبتاً بزرگ باشد بازده کار انجام گرفته برای تغییر سرعت به حداکثر می‌رسد. هنگامی که زاویه بین سرعت و شتاب باز باشد به عنوان مثال برای پرتاب یا برای انتقال به مدار بالاتر، این به معنی تأثیر کردن تغییرات در سرعت در کوتاهترین زمان و در نهایت ظرفیت ممکن است. با گذشتن از کنار یک جسم بین سیاره‌ای به معنی افزایش نیروی پیشران در نزدیکی آن است. در هنگام گذار تدریجی به یک مدار بالاتر به معنی افزایش نیروی پیشران در اطراف نقطهٔ حضیض مداریست.

هنگام اعمال تغییر سرعت یرای کاهش انرژی ویزه مداری بیشترین بازده مربوط به حالتی است که سرعت و شتاب در جهات مقابل هستند و البته مثل حالت قبل اندازه سرعت بزرگ باشد. هنگامی که زاویهٔ بین سرعت و شتاب تند باشد مانند فرود (روی یک جسم بین سیاره‌ای بدون پوشش اتمسفر) یا در انتقال به یک مدار دایره‌ای به دور یک جسم بین سیاره‌ای موقع ورود از بیرون، به معنی اعمال تغییر سرعت در بلندترین زمان ممکن است. در حال گذر از کنار یک سیاره به معنی اعمال نیروی پیشران در نزدیکی آن است؛ و هنگام گذار به مدار بیضی پایینتر، به معنی اعمال نیروی پیشران هر بار در نزدیکی نقطه حضیض مداریست.

هنگامی که سرعت و شتاب در یک جهت اند تغییر انرژی ویژه:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }ϵ=\int vd(\mathrm{\Delta }v)=\int vadt}$