انتگرال لبگ

انتگرال یک تابع مثبت مانند ${\displaystyle \mathrm{f}}$

ریاضیدانان در قرن نوزدهم میلادی تلاش کردند تا حساب انتگرالی را به عنوان بخشی از حرکت عمومی به سمت دقت و استحکام ریاضیاتی (Rigor) بر روی بنیان های مستحکمی بنا کنند. انتگرال ریمانی که توسط برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) پیشنهاد شد، یک تلاش موفقیت آمیز گسترده در جهت ارائه چنین بنیانی بود. تعریف ریمان با ساخت دنباله ای از مساحت‌ها شروع می کند که به راحتی قابل محاسبه اند و جمعشان به انتگرال تابع داده شده همگرا می باشد. این تعریف ازین لحاظ موفق است که برای بسیاری از مسائل از قبل حل شده جواب مورد انتظار را ایجاد کرده و نتایج مفیدی را برای بسیاری از مسائل دیگر ارائه می کند.

با این حال، انتگرال ریمانی به خوبی با دنباله توابع برهمکنش ندارد و تحلیل چنین دنباله هایی را دچار مشکل می کند. این نکته به عنوان مثال در مطالعه سری فوریه، تبدیل فوریه و دیگر موضوعات اهمیت دارد. انتگرال لبگ قادر است تا توصیف کند چه زمان و چگونه امکان حد گیری زیر نماد انتگرال گیری ممکن است (این حد گیری از طریق قضایای قدرتمند همگرایی یکنواخت و همگرایی تسلطی انجام می شود).

در حالی که انتگرال ریمانی مساحت زیر نمودار را از طریق مستطیل های عمودی محاسبه می کند، تعریف لبگ ورقه های افقی را در نظر می گیرد که لزوماً مستطیل نیستند و انعطاف بیشتری دارند. به همین دلیل تعریف لبگ امکان محاسبه انتگرال را برای دسته گسترده تری از توابع فراهم می آورد. به عنوان مثال، تابع دیریکله که برای اعداد گنگ ۰ و برای اعداد گویا ۱ است، دارای انتگرال لبگ است اما انتگرال ریمان ندارد. به علاوه، انتگرال لبگ این تابع صفر است که با شهود هم مطابقت دارد، چرا که شهود به ما می گوید هنگامی که عددی از اعداد حقیقی را انتخاب می کنیم احتمال گویا بودنش صفر است.

لبگ رهیافت خود به انتگرال گیری را در نامه ای به پاول مونتل اینگونه بیان می دارد:

من باید مبلغ خاصی را پرداخت کنم، مبلغی که آن را در جیب خودم جمع آوری نمودم. اسکناس ها و سکه ها را به ترتیبی که در جیبم می یابم از آن خارج کرده و آن ها را به طلبکار می دهم تا کل مبلغ تصفیه شود. این توصیف انتگرال ریمانی بود. اما می توانستم به روش دیگری هم جلو روم. بعد از این که تمام پول خود را از جیبم در آوردم اسکناس ها و سکه ها را به گونه ای مرتب می کنم تا مطابق با مبلغ بدهی ام شود و آنگاه کپه های مختلف از آن ها را یکی پس از دیگری به طلبکارم پرداخت می کنم. این روش انتگرال گیری من است.

— Source: (Siegmund-Schultze 2008)

دیدگاه مورد نظر او این است که باید بتوان مقادیر تابع را آزادانه بازآرایی کرد، در حالی که مقدار انتگرال هم حفظ شده و تغییری نکند. فرایند بازآرایی قادر به تبدیل یک تابع آسیب‌شناختی (پاتولوژیکال، غیر عادی) به تابعیست که از نقطه نظر انتگرال گیری به میزان کافی "خوب" بوده و ازین رو امکان می دهد که بدین طریق بتوانیم از توابع آسیب‌شناختی بهتر انتگرال گیری کنیم.

تفسیر شهودی

برای این که به رهیافت های مختلف انتگرال گیری شهود پیدا کنیم، اجازه دهید تا تصور کنیم که می خواهیم حجم یک کوه (بالاتر از سطح دریا) را بدست آوریم.

رهیافت ریمان-داربوکس

قاعده کوه را به مشبکه ای با مربع هایی که اضلاع یک متری دارند تقسیم بندی کنید. ارتفاع کوه را در مرکز هر مربع بدست آورید. آنگاه حجم یکی از مربع های این مشبکه تقریباً ${\displaystyle 1m^2\times h}$

این است که در آن ${\displaystyle h}$

ارتفاع آن مربع خاص می باشد، چنان که حجم کل برابر ۱ متر مربع ضرب در جمع کل ارتفاع مربع ها خواهد بود.

رهیافت لبگ

یک نگاشت خط تراز از کوه رسم کنید، به گونه ای که خطوط تراز مجاور اختلاف ارتفاع یک متری از هم داشته باشند. حجمی که یک تراز خاص آن را در بر می گیرد تقریباً برابر ${\displaystyle 1m^2\times A}$

است که در آن ${\displaystyle A}$

مساحت تراز مورد نظر است، چنان که حجم کل برابر جمع کل مساحت تراز ها ضرب در ۱ متر می باشد.

فولند تفاوت بین رهیافت انتگرال گیری ریمانی و لبگ را اینگونه بیان می دارد: "برای محاسبه انتگرال ریمانی ${\displaystyle f}$

به سوی یک تعریف صوری

برای تعریف انتگرال لبگ، نیازمند به مفهوم صوری اندازه هستیم، که می توان گفت به طور کلی و نادقیق به هر مجموعه ${\displaystyle A}$

این مساحت مقدماتی همان مقدار زیر است:

${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right)dt.}$

فرض کنید:

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right).}$

آنگاه انتگرال لبگ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int fd\mu ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\ast }(t)dt}$

که در آن انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمانی ناسره معمولیست. توجه کنید که ${\displaystyle f^{\ast }}$

یک تابع اندازه پذیر ${\displaystyle f}$

در این حالت، همانند حالت ریمانی، انتگرال برابر تفاضل بین مساحت بالای محور ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu }$

که در آن ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$

این قضیه بیان می‌کند، اگر سری صعودی از توابع اندازه‌پذیر موجود باشد، آنگاه انتگرال حد این توابع برابر با حد انتگرال تابعی است که به وسیله‌ی سری صعودی تقریب زده شده است.