الگوریتم دایکسترا

نام این الگوریتم بر اساس نام ارائه‌دهنده هلندی آن، یعنی اِدسخِر دایکسترا انتخاب شده‌است. در منابع فارسی آن را به شکل‌های دِیکسترا، دکسترا، دایکسترا، دایجسترا، دیجسترا، دایجکسترا و دیجکسترا هم نوشته شده‌است، ولی جیمِ آن در تلفظ هلندی آن تلفظ نمی‌شود، لذا دو مورد اول صحیح هستند.

روند الگوریتم دایکسترا مطابق زیر می‌باشد:

۱- انتخاب راس مبدا

۲- مجموعهٔ S، شامل رئوس گراف، معین می‌شود. در شروع، این مجموعه تهی بوده و با پیشرفت الگوریتم، این مجموعه رئوسی که کوتاه‌ترین مسیر به آن‌ها یافت شده‌است را در بر می‌گیرد.

۳- راس مبدأ با اندیس صفر را در داخل S قرار می‌دهد.

۴- برای رئوس خارج از S، اندیسی معادل، طول یال + اندیس راس قبلی، در نظر می‌گیرد. اگر راس خارج از مجموعه دارای اندیس باشد، اندیس جدید کمترین مقدار از بین اندیس قبلی و طول یال + اندیس راس قبل، می‌باشد.

۵- از رئوس خارج مجموعه، راسی با کمترین اندیس انتخاب شده و به مجموعهٔ S اضافه می‌گردد.

۶- این کار را دوباره از مرحلهٔ ۴ ادامه داده تا راس مقصد وارد مجموعهٔ S شود.

در پایان اگر راس مقصد دارای اندیس باشد، اندیس آن نشان دهندهٔ مسافت بین مبدأ و مقصد می‌باشد. در غیر این صورت هیچ مسیری بین مبدأ و مقصد موجود نمی‌باشد.

همچنین برای پیدا کردن مسیر می‌توان اندیس دیگری برای هر راس در نظر گرفت که نشان دهندهٔ راس قبلی در مسیر طی شده باشد. بدین ترتیب پس از پایان اجرای الگوریتم، با دنبال کردن رئوس قبلی از مقصد به مبدا، کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه نیز یافت می‌شود.

در حین اجرای الگوریتم دو چیز به‌طور ضمنی نگهداری می‌شود. یکی مجموعهٔ ${\displaystyle S}$

در پیاده‌سازی، برای اینکه مشخص کنیم چه رئوسی در مجموعهٔ ${\displaystyle S}$

پیاده‌سازی

یک پیاده‌سازی نوعی به این شرح است:

 1 Algorithm Dijkstra(G,s)
 2 Input: G=(V,E), s(the source vertex)
 3 Output: two sequence d and ${\displaystyle \pi }$

 4 begin
 5 for all vertices w do
 6 ${\displaystyle d_w}$
 = ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$

 7 ${\displaystyle {\pi }_w}$
 = NULL
 8 ${\displaystyle d_s}$
 = ۰
 9 while there exists an unmarked vertex do
10 let w be an unmarked vertex such that ${\displaystyle d_w}$
 is minimum
11 mark w
12 for all edge (w,z) such that z is unmarked do
13 if 
 then
14 ${\displaystyle d_z}$
 = ${\displaystyle d_w+weight(w,z)}$

15 ${\displaystyle {\pi }_z}$
 = w
16 end

پیچیدگی زمانی

در ساده‌ترین پیاده‌سازی الگوریتمِ دایکسترا، داده‌ها در آرایه یا لیست پیوندی ذخیره می‌شوند که بدین ترتیب مینیمم مقدار ${\displaystyle d}$

الگوریتم دایکسترا با نگهداری گراف در فهرست مجاورت و استفاده از هرم دودویی یا درخت جستجوی دودویی خود-متوازن (برای پیدا کردن مینیمم) با پیچیدگی زمانی ${\displaystyle O((|V|+|E|)log|V|)}$

از جمله مهم‌ترین کاربردهای این روش می‌توان به محاسبهٔ کوتاه‌ترین فاصلهٔ دو نقطه در یک شهر از طریق راه‌های زمینی اشاره نمود. برای محاسبهٔ کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه باید نقاط مورد نظر در یک نقشه را علامت‌گذاری کرد و با استفاده از مشخصات نقاط (طول، عرض و ارتفاع) فاصلهٔ دو نقطه را در هر بار عملیات محاسبه نمود. توجه داریم که در ترافیک سرعت خودروها به شدت پایین آمده و این امر می‌تواند در انتخاب کوتاه‌ترین مسیر تأثیرگذار باشد چرا که ممکن است بین دو نقطه a,b راه‌های ۱و۲ موجود باشد که راه ۱ اتوبان و از خارج شهر و راه ۲ از داخل شهر عبور می‌کند. فرض کنید فاصلهٔ a,b از طریق راه ۱ حدود ۱۰ کیلومتر و از طریق راه ۲ حدود ۷ کیلومتر باشد ولی راه ۲ علی رقم فاصلهٔ کمتر دارای ترافیک سنگین است در نتیجه می‌توان انتظار داشت که در ساعات شلوغی استفاده از راه ۱ بهتر باشد. از آن جا که اساس محاسبات در این روش بر پایهٔ فاصله بین دو نقطه است می‌توان کاهش سرعت را با افزایش فواصل هم ارز نمود چرا که اگر رابطهٔ سرعت و فاصله را خطی در نظر بگیریم (D=V.T)تاثیر کاهش سرعت و افزایش مسافت یکسان است. از این رو لازم است تا ضرایب تعدیلی در فواصل بین نقاط ضرب شده و این مسائل را در محاسبات لحاظ کرد. از جمله مهم‌ترین این ضرایب می‌توان به ۳ مورد زیر اشاره نمود: ۱-ضریب ترافیک و شلوغی ۲-ضریب عرض معبر ۳-ضریب شیب که نشانگر افت سرعت در سر بالایی هااست. گرچه تعیین این ضرایب برای نقاط مختلف شهر نیازمند کارشناسان متخصص ترافیک و بررسی‌های آماری دقیق می‌باشد ولی می‌توان انتظار داشت که در اکثر موارد این ضرایب بین مقادیر ۱ تا ۲ بسته به شرایط تغییر کنند.

• مسیریابی (Routing)

• آموزش الگوریتم دکسترا برای مسابقات برنامه نویسی