اثر ژئودزیکی

اثر ژئودتیک با دقتی بالاتر از ۰٫۵٪ توسط حسگر گرانش بی، آزمایشی که خمش محور اسپین ژیروسکوپ‌ها را در مداری به دور زمین اندازه می‌گیرد، تأیید شده‌است. اولین نتایج در ۱۴ آوریل ۲۰۰۷ در نشست انجمن فیزیک آمریکا اعلام شد.

برای استنتاج حرکت تقدیمی، فرض کنید که سیستم در یک متریک شوارتزشیلد چرخان است. متریک غیرچرخان به صورت زیر است،

${\displaystyle d{s}^2=d{t}^2\left(1-\frac{2m}{r}\right)-d{r}^2{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}^{-1}-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^{\prime 2}),}$

که در آن c=G=1

ما یک دستگاه مختصات چرخان با سرعت زاویه ای ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\varphi =d{\varphi }^{\prime }-\omega dt.}$

در این دستگاه مختصات، ناظری که در موقعیت شعاعی r قرار دارد، برداری را در مکان r می بیند و در حال چرخش با بسامد زاویه ای ω است. اما اگر این ناظر با سرعت متفاوتی بچرخد به دلیل اتساع زمان نسبیتی برداری را در مقدار دیگری از r می بیند. با انتقال متریک شوارتزشیلد به چارچوب چرخان و فرض ثابت بودن ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle d{s}^2=\left(1-\frac{2m}{r}-r^2\beta {\omega }^2\right){\left(dt-\frac{r^2\beta \omega }{1-2m/r-r^2\beta {\omega }^2}d\varphi \right)}^2-d{r}^2{\left(1-\frac{2m}{r}\right)}^{-1}-\frac{r^2\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^2\beta {\omega }^2}d{\varphi }^2}$

که ${\displaystyle \beta ={\sin }^2(\theta )}$

${\displaystyle d{s}^2=e^{2\mathrm{\Phi }}{\left(dt-w_{i}d{x}^i\right)}^2-k_{ij}d{x}^{i}d{x}^j.}$

با این شکل کانونی به راحتی می‌توان نرخ چرخش یک ژیروسکوپ در زمان ویژه را به دست آورد،

${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\frac{\sqrt{2}}{4}{e}^{\mathrm{\Phi }}[k^{ik}{k}^{jl}({\omega }_{i,j}-{\omega }_{j,i})({\omega }_{k,l}-{\omega }_{l,k}){]}^{1/2}=\frac{\sqrt{\beta }\omega (r-3m)}{r-2m-\beta {\omega }^2{r}^3}=\sqrt{\beta }\omega .}$

آخرین تساوی تنها برای ناظرین در سقوط آزاد درست است که شتابی ندارند و بنابراین ${\displaystyle \mathrm{\Phi }{,}_i=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Phi }{,}_i=\frac{2m/r^2-2r\beta {\omega }^2}{2(1-2m/r-r^2\beta {\omega }^2)}=0.}$

با حل این معادله برای ω،

${\displaystyle {\omega }^2=\frac{m}{r^3\beta }.}$

اگر τ زمان ویژه ژیروسکوپ باشد،

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\tau ={\left(1-\frac{2m}{r}-r^2\beta {\omega }^2\right)}^{1/2}dt={\left(1-\frac{3m}{r}\right)}^{1/2}dt.}$

−2m/r را به عنوان اتساع زمان گرانشی تعبیر می‌کنند در حالیکه −m/r اضافی ناشی از چرخش این چارچوب مرجع است. از آنجا که ${\displaystyle {\alpha }^{\prime }=\mathrm{\Omega }\mathrm{\Delta }\tau }$

${\displaystyle \alpha ={\alpha }^{\prime }+2\pi =-2\pi \sqrt{\beta }({\left(1-\frac{3m}{r}\right)}^{1/2}-1).}$

با استفاده از یک سری تیلور مرتبه اول داریم :

${\displaystyle \alpha \approx \frac{3\pi m}{r}\sqrt{\beta }=\frac{3\pi m}{r}\sin (\theta ).}$

• کشش چارچوب

• وبسایت حسگر گرانش بی در NASA و Stanford University
• حرکت تقدیمی در فضای خمیده "اثر ژئودزیکی"

• ولفگانگ ریدلر (2006) Relativity: special, general, and cosmological (2nd Ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8