گسسته‌سازی

گسسته‌سازی همچنین به تبدیل معادلات دیفرانسیل پیوسته به معادلات تفاضلی گسسته، که برای محاسبات عددی مناسب است، مربوط می‌باشد.

مدل فضای حالت زمان پیوسته زیر:

${\displaystyle \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)+\mathbf{w}(t)}$

${\displaystyle \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}(t)}$

که در آن v و w منابع نویز سفید میانگین صفر پیوسته با تراکم قدرت طیفی هستند.

${\displaystyle \mathbf{w}(t)\sim N(0,\mathbf{Q})}$

${\displaystyle \mathbf{v}(t)\sim N(0,\mathbf{R})}$

می‌تواند گسسته‌سازی شود، با فرض اینکه نگهدارنده مرتبه صفر برای ورودی u و ادغام پیوسته نویز v ، به :

${\displaystyle \mathbf{x}[k+1]={\mathbf{A}}_d\mathbf{x}[k]+{\mathbf{B}}_d\mathbf{u}[k]+\mathbf{w}[k]}$

${\displaystyle \mathbf{y}[k]={\mathbf{C}}_d\mathbf{x}[k]+{\mathbf{D}}_d\mathbf{u}[k]+\mathbf{v}[k]}$

با همگرایی:

${\displaystyle \mathbf{w}[k]\sim N(0,{\mathbf{Q}}_d)}$

${\displaystyle \mathbf{v}[k]\sim N(0,{\mathbf{R}}_d)}$

که در آن

${\displaystyle {\mathbf{A}}_d=e^{\mathbf{A}T}={\mathcal{L}}^{-1}\{(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}{\}}_{t=T}}$

${\displaystyle {\mathbf{B}}_d=\left({\int }_{\tau =0}^T{e}^{\mathbf{A}\tau }d\tau \right)\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}({\mathbf{A}}_d-I)\mathbf{B}}$

, if

${\displaystyle \mathbf{A}}$

مفرد نیست

${\displaystyle {\mathbf{C}}_d=\mathbf{C}}$

${\displaystyle {\mathbf{D}}_d=\mathbf{D}}$

${\displaystyle {\mathbf{Q}}_d={\int }_{\tau =0}^T{e}^{\mathbf{A}\tau }\mathbf{Q}{e}^{{\mathbf{A}}^{\mathrm{\top }}\tau }d\tau }$

${\displaystyle {\mathbf{R}}_d=\frac{1}{T}\mathbf{R}}$

و ${\displaystyle T}$

یک ترفند هوشمندانه برای محاسبه A_d و B_d در یک گام، استفاده از خاصیت زیر است:

و سپس داریم

${\displaystyle {\mathbf{A}}_d={\mathbf{M}}_{11}}$

${\displaystyle {\mathbf{B}}_d={\mathbf{M}}_{12}}$

گسسته‌سازی از نویز پردازش

ارزیابی عددی ${\displaystyle }$

نویز پردازش گسسته‌سازی شده سپس با ضرب ترانهاده از پارتیشن پایین سمت راست G با پارتیشن فوقانی سمت راست G ارزیابی می‌شود:

${\displaystyle {\mathbf{Q}}_d=({\mathbf{A}}_d^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}({\mathbf{A}}_d^{-1}{\mathbf{Q}}_d)={\mathbf{A}}_d({\mathbf{A}}_d^{-1}{\mathbf{Q}}_d).}$

اشتقاق

با مدل پیوسته شروع کنیم :

${\displaystyle \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)}$

ما می‌دانیم که برای ماتریس نمایی داریم:

${\displaystyle \frac{d}{dt}{e}^{\mathbf{A}t}=\mathbf{A}{e}^{\mathbf{A}t}=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{A}}$

و با پیشسازی مدل ما بدست می‌آوریم :

${\displaystyle e^{-\mathbf{A}t}\dot{\mathbf{x}}(t)=e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)}$

که ما به عنوان فرمول زیر آن را می‌شناسیم:

${\displaystyle \frac{d}{dt}(e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x}(t))=e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{B}\mathbf{u}(t)}$

و با یکپارچه سازی...

${\displaystyle e^{-\mathbf{A}t}\mathbf{x}(t)-e^0\mathbf{x}(0)={\int }_0^t{e}^{-\mathbf{A}\tau }\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^t{e}^{\mathbf{A}(t-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau }$

بدست می‌آید که یک راه حل تحلیلی برای مدل پیوسته است.

حال ما می‌خواهیم عبارت بالا را گسسته‌سازی کنیم. ما فرض می‌کنیم که u در طول زمان ثابت است.

${\displaystyle \mathbf{x}[k]\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathbf{x}(kT)}$

${\displaystyle \mathbf{x}[k]=e^{\mathbf{A}kT}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^{kT}{e}^{\mathbf{A}(kT-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf{x}[k+1]=e^{\mathbf{A}(k+1)T}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^{(k+1)T}{e}^{\mathbf{A}((k+1)T-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf{x}[k+1]=e^{\mathbf{A}T}\left[e^{\mathbf{A}kT}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^{kT}{e}^{\mathbf{A}(kT-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau \right]+{\int }_{kT}^{(k+1)T}{e}^{\mathbf{A}(kT+T-\tau )}\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau )d\tau }$

ما می‌دانیم عبارت داخل براکت ${\displaystyle }$

که راه حل دقیق را به مسئله گسسته‌سازی است.

تقریب

گاهی اوقات ممکن است گسسته‌سازی دقیق به دلیل ماتریس نمایی سنگین و عملیات‌های انتگرال درگیر غیرممکن شود. بسیار آسان‌تر است تا یک مدل تقریبی گسسته را بر اساس ${\displaystyle e^{\mathbf{A}T}\approx \mathbf{I}+\mathbf{A}T}$

${\displaystyle \mathbf{x}[k+1]\approx (\mathbf{I}+\mathbf{A}T)\mathbf{x}[k]+T\mathbf{B}\mathbf{u}[k]}$

امکان‌های تقریب دیگر شامل ${\displaystyle e^{\mathbf{A}T}\approx {\left(\mathbf{I}-\mathbf{A}T\right)}^{-1}}$

در آمار و یادگیری ماشین، گسسته سازی به روند تبدیل ویژگی‌ها یا متغیرها به ویژگی‌های گسسته‌سازی شده یا جزئی گفته می‌شود. این عمل می‌تواند در توابع احتمال گسترده مفید واقع شود.

• گسسته فضا
• Discrete event simulation

• Robert Grover Brown & Patrick Y. C. Hwang. Introduction to random signals and applied Kalman filtering (3rd ed.). ISBN 978-0-471-12839-7.
• Chi-Tsong Chen (1984). Linear System Theory and Design. Philadelphia, PA, USA: Saunders College Publishing. ISBN 0-03-071691-8.
• C. Van Loan (Jun 1978). "Computing integrals involving the matrix exponential". IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404. doi:10.1109/TAC.1978.1101743.
• R.H. Middleton & G.C. Goodwin (1990). Digital control and estimation: a unified approach. p. 33f. ISBN 0-13-211665-0.