کوک فیثاغورثی

کوک فیثاغورثی بر مبنای روی هم گذاشتن فواصل پنجم درست تعریف می‌شود که در آن نسبت بسامد نت‌ها در هر فاصلهٔ پنجم ۳:۲ است (ساده‌ترین کسر اعداد طبیعی بعد از ۲:۱). برای نمونه، اگر از نت ر شروع کنیم، با شش بار حرکت به سمت بالا به اندازهٔ فاصلهٔ پنجم درست، و پنج بار حرکت به سمت پایین از سوی دیگر، جمعاً یازده نت دیگر به دست می‌آید که به همراه «ر» مجموعه‌ای کامل از تمام دوازده نت گام کروماتیک را می‌سازند:

می بمل – سی بمل – فا – دو – سل – ر – لا – می – سی – فا دیز – دو دیز – سل دیز

این توالی یازده نسبت ۳:۲ تمام بازهٔ بسامد یک پیانو (که دارای ۷۷ کلید است) را پوشش می‌دهد. از آنجا که نت‌هایی که نسبت بسامدشان ۲:۱ باشد همنام هستند (چون با فاصلهٔ یک اکتاو از هم قرار دارند)، می‌توان با استفاده از همین یازده نت بسامد تمام نت‌های یک پیانو را محاسبه کرد.

مشکل کوک فیثاغورثی آن است که هیچ تعداد تکراری از فواصل ۳:۲ منجر به فاصله‌ای که مضربی از نسبت ۲:۱ باشد نمی‌شود. برای مثال، اگر توالی بالا را از سمت بمتر یک قدم بیشتر ادامه بدهیم نت که به دست می‌آید لا بمل خواهد بود، اما فرکانس این نت (که هم‌نوا با نت سل دیز در انتهای توالی است) در مقایسه با نت سل دیز به صورت توانی از نسبت ۲:۱ قابل محاسبه نیست.

لا بمل - می بمل – سی بمل – فا – دو – سل – ر – لا – می – سی – فا دیز – دو دیز – سل دیز

به‌طور دقیق‌تر، بین نسبت فرکانس این دو نت وقتی با استفاده از دایره پنجم‌ها محاسبه شوند با حالتی که با استفاده از نسبت ۲:۱ محاسبه شوند، به اندازهٔ حدوداً یک چهارم یک نیم‌پرده فاصله وجود دارد؛ به این فاصله کمای فیثاغورثی می‌گویند. در جدول پایین فرمول محاسبهٔ هر کدام از نت‌ها با روش کوک فیثاغورثی آمده‌است. نسبت‌های ۳:۲ و ۲:۳ به ترتیب نشان‌دهندهٔ بالا رفتن یا پایین آمدن به اندازهٔ یک فاصلهٔ پنجم درست هستند. نسبت‌های ۲:۱ و ۱:۲ به ترتیب نشان‌دهندهٔ بالا رفتن یا پایین آمدن به اندازهٔ یک اکتاو هستند.

روش‌های نوین کوک‌کردن، نظیر اعتدال مساوی، این مشکل را با معتدل کردن فاصلهٔ پنجم به اندازه‌ای که خالص نیست حل می‌کنند.