کهاد

اگر A یک ماتریس مربعی باشد،ماتریسی مربعی و کوچکتری که از حذف یک یا چند سطر و ستون A بدست می‌آید را کِهاد ماتریس A می‌نامند. اگر فقط سطر iام و ستون jام از ماتریس A حذف شود و آنگاه کِهاد مرتبه اول iام و jام به دست می‌آید. اگر دو سطر و دو ستون حذف گردد کِهادهای مرتبه دوم حاصل خواهد شد. منظور از کِهاد معمولاً کهادِ مرتبه اول است.

از کِهاد (به انگلیسی: minor) برای محاسبه همسازه یا کوفکتور (cofactor) ماتریس استفاده می‌شود که آن هم به نوبه خود برای محاسبه دترمینان و معکوس یک ماتریس کاربرد دارد.

تعریف و نمایش

کهاد مرتبهٔ اول

اگر $\ A$

یک ماتریس مربعی باشد آنگاه کِهاد درایهٔ سطر

\ i

ام و ستون

\ j

ام (که

\ M_{i,j}

یا کِهادِ اوّل نامیده می‌شود) با گرفتنِ دترمینانِ ماتریسی که با حذف ردیف

\ i

ام و سطر

\ j

ام بدست می‌آید، ساخته و معمولاً با

\ M_{i,j}

نمایش داده می‌شود.

کوفکتور $i j$

ام، با ضرب کِهادِ

i j

ام در

(-1)^{i+j}

، بدست می‌آید. برای درک بیشتر، به مثال زیر برای یک ماتریس ۳ در ۳، توجه کنید:

{\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}

برای محاسبهٔ کِهاد $\ M_{2,3}$

و کوفَکتورِ

\ M_{2,3}

، باید دترمینانِ ماتریس بالا را، با حذف ردیف ۲ و ستون ۳، بدست آوریم.

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13

در نتیجه، کوفکتورِ (۲٬۳) می‌شود:

اگر جمع جبری توان( i + j ) زوج باشد حاصل C مثبت و اگر فرد باشد مقدار C منفی است

\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

منابع

↑ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.

پیوند به بیرون

[1] Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.