کره ریمان

تعریف می‌کنیم ${\displaystyle \hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup \{\mathrm{\infty }\}}$

${\displaystyle w=f(z)=\frac{1}{z},}$

که

${\displaystyle w,z\in \hat{\mathbb{C}}}$

and ${\displaystyle \frac{1}{0}=\mathrm{\infty }.}$

ما کرهٔ ریمان را به مثابه یک کره در فضای سه بعدی تصور می‌کنیم. مثلاً در ${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$

کنج نگاری

برای برقراری تناظر یک‌به‌یک میان نقاط روی صفحهٔ مختلط گسترش‌یافته و کره ریمان، ما نخست ${\displaystyle z}$

تناظر بین صفحهٔ ${\displaystyle w}$

نوع دیگر از کنج نگاری

روش دیگر کنج نگاری صفحه‌ها را روی خط استوا قرار می‌دهد. اما تقابل آن‌ها را حفظ می‌کند. لذا صفحه‌ها از نطر هندسی متمایز نیستند. این روش کره ریمان در توسعه ریاضیات کمتر مورد توجه است. اما به نظر می‌رسد که در فیزیک محبوب است. برای مثال راجر پنروز در پیشبرد نظریهٔ حافظهٔ پیچشی از آن استفاده کرده‌است.

خصوصیات هندسی مطلب

تبدیلات موبیوس که از ${\displaystyle \hat{\mathbb{C}}}$

${\displaystyle t=f(z)=\frac{az+b}{cz+d},}$

که${\displaystyle t,z\in \hat{\mathbb{C}}}$

${\displaystyle z\to rz}$

${\displaystyle z\to z{e}^{i\theta }}$

${\displaystyle z\to z+z_0}$

${\displaystyle z\to \frac{1}{z}}$

(که r و ${\displaystyle \theta }$

اتساع‌ها، چرخش‌ها و تبدیل‌های ابتدایی و وارون‌سازی مختلط (یک ترکیب از وارون سازی در دایرهٔ واحد و یک انعکاس روی خط حقیقی ) هر کدام با صفحه مختلط وفق دارند.استفاده از

 :${\displaystyle z\to \frac{1}{z}}$

به ما اجازه می‌دهد که درستی آن را در بی‌نهایت چک کنیم.

ساختمان مَنیفُلد مختلط روی صفحهٔ ریمان به وسیلهٔ یک اطلس با دو نمودار به عنوان جریان مشخص شده‌است.

${\displaystyle f:\hat{\mathbb{C}}\setminus \{\mathrm{\infty }\}\to \mathbb{C},f(z)=z}$

${\displaystyle g:\hat{\mathbb{C}}\setminus \{0\}\to \mathbb{C},g(z)=\frac{1}{z}\text{ and }g(\mathrm{\infty })=0.}$

این دو نمودار بجز در 0 و ∞ روی هم می افتند. در این روی هم افتادگی تابع‌گذار به صورت z → 1/zداده شده‌است. که به وضوح هُولُومورفیک است. و بدینگونه ساختمان مختلط را تعریف می‌کند. کره ریمان همان توپولوژی S را دارد. که کره به شعاع 1 در فضای اقلیدسی R است. یک هُومُومورفیسم بین آن‌ها به وسیلهٔ کنج نگاری مماس به قطب جنوب روی صفحهٔ مختلط داده می‌شود. نقطه‌ها در S بصورت (x₁, x₂, x₃) که ${\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1}$

${\displaystyle (x_1,x_2,x_3)\to \frac{x_1-i{x}_2}{1-x_3}.}$

این، قطب جنوب را به مرکز صفحهٔ مختلط و قطب شمال را به ∞ نقش می‌کند. بر حسب مختصات کروی (θ, φ)، با :

${\displaystyle (\theta ,\varphi )\to e^{-i\varphi }\cot \frac{\theta }{2}.}$

رابطه زیر قطب شمال را به مرکز و قطب جنوب را به ∞ نقش می‌کند. با فرمول زیر :

${\displaystyle (x_1,x_2,x_3)\to \frac{x_1+i{x}_2}{1+x_3}}$

یا در مختصات کروی :

${\displaystyle (\theta ,\varphi )\to e^{i\varphi }\tan \frac{\theta }{2}.}$

کرهٔ ریمان را می‌توان با خط انعکاسی مختلط، CP فهمید.صریحاً با رابطه زیر ایزومورفیسم داده می‌شود:

${\displaystyle [z_1:z_2]\leftrightarrow z_1/z_2}$

که [z₁ : z₂] مختصات متوافق روی CP هستند، با توجه به اینکه صفحهٔ مختلط روی خط انعکاسی به عنوان زیرمجموعه می نشیند.

${\displaystyle \{[z,1]:z\in \mathbb{C}\}}$

در حالی که نقطه در بینهایت به وسیلهٔ [1 : 0] در مختصات متوافق داده می‌شود.

در رده‌بندی رویه‌های ریمان گروه اتومورفیسم از کرهٔ ریمان همان گروه تبدیلات موبیوس است این‌ها فقط تبدیلات خطوط انعکاسی PGL₂ C روی CP هستند. کرهٔ ریمان یکی از سه رویهٔ متصل شدهٔ سادهٔ ریمان است. دو تای دیگر صفحهٔ مختلط و صفحهٔ هایپربولیک هستند. این عبارت با قضیهٔ یکنواخت‌سازی شناخته می‌شود و برای رده‌بندی رویه‌های ریمان مهم است.

صفحه مختلط