کاردینالیتی

رابطهٔ دارای عدد اصلی یکسان بودن را هم-شماری (یه انگلیسی: equinumerosity) می‌گویند و آن یک رابطه هم‌ارزی روی رده تمام مجموعه‌هاست. بنابر این، رده هم‌ارزی از یک مجموعه A تحت این رابطه متشکل از تمام آن مجموعه هاییست که دارای کاردینالیتی یکسانی با A هستند. دو راه برای تعریف «کاردینالیتی یک مجموعه» وجود دارد:

1. کاردینالیتی یک مجموعه A به عنوان رده هم‌ارزی اش تحت رابطهٔ هم-شماری تعریف می‌شود.
2. یک مجموعه نمایشگر برای هر رده هم‌ارزی مشخص می‌شود. رایج‌ترین انتخاب، شیء ابتدایی در آن رده است. این معمولاً به عنوان تعریف عدد اصلی در تئوری اصل موضوعه‌ای مجموعه‌ها در نظر گرفته می‌شود.

با فرض اصل انتخاب، کاردینالیتی مجموعه‌های نامتناهی به صورت زیر مشخص می‌شوند:

برای هر عدد ترتیبی ${\displaystyle \alpha }$

اگر اصل موضوع انتخاب برقرار باشد، قاعده تثلیث برای کاردینالیتی برقرار خواهد بود. بنابراین ما می‌توانیم تعاریف زیر را ارائه دهیم:

• هر مجموعه X باکاردینالیتی کمتر از اعداد طبیعی، یا | X | <| N | را یک مجموعه متناهی می‌گویند.
• هر مجموعه X که دارای کاردینالیتی یکسانی با اعداد طبیعیست، یا | X | = | N | = ${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_0}$
  شمارای نامتناهی گویند.
• هر مجموعه X با کاردینالیتی بیشتر از اعداد طبیعی، یا | X |> | N |، برای مثال | R | = ${\displaystyle \mathfrak{c}}$
  > | N |، ناشمارا گویند.

• عدد الف
• عدد ب
• مجموعه شمارا
• شمارش
• اوردینالیتی