اثر کامپتون

یک فوتون ${\displaystyle \gamma }$

از معادلات پایستگی انرژی کلی فوتون و الکترون، قبل و بعد از برخود داریم:

${\displaystyle E_{\gamma }+E_e=E_{{\gamma }^{\prime }}+E_{e^{\prime }}.}$

از پایستگی تکانه داریم:

${\displaystyle {\mathbf{p}}_{\gamma }={\mathbf{p}}_{{\gamma }^{\prime }}+{\mathbf{p}}_{e^{\prime }},}$

انرژی فوتون وابسته به فرکانس فوتون می‌باشد (معادله پلانک). انرژی فوتون قبل و بعد از برخورد:

${\displaystyle E_{\gamma }=hf}$

${\displaystyle E_{{\gamma }^{\prime }}=h{f}^{\prime }}$

h ثابت پلانک می‌باشد.

پیش از برخورد فوتون با الکترون با در نظر گرفتن حالت سکون برای الکترون، میزان انرژی حالت سکون الکترون از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle E_e=m_e{c}^2}$

انرژی الکترون بعد از برخورد فوتون:

${\displaystyle E_{e^{\prime }}=\sqrt{(p_{e^{\prime }}c{)}^2+(m_e{c}^2{)}^2}.}$

معادله انرژی قبل و بعد از برخورد:

${\displaystyle hf+m_e{c}^2=h{f}^{\prime }+\sqrt{(p_{e^{\prime }}c{)}^2+(m_e{c}^2{)}^2}.}$

از به توان دو رساندن رابطه فوق و چینش مجدد رابطه داریم:

${\displaystyle p_{e^{\prime }}^2{c}^2=(hf+m_e{c}^2-h{f}^{\prime }{)}^2-m_e^2{c}^4.(1)}$

از پایستگی تکانه داریم:

${\displaystyle {\mathbf{p}}_{e^{\prime }}={\mathbf{p}}_{\gamma }-{\mathbf{p}}_{{\gamma }^{\prime }}.}$

با ضرب اسکالر داریم:

دو طرف معادله را در ${\displaystyle c^2}$

${\displaystyle p_{e^{\prime }}^2{c}^2=p_{\gamma }^2{c}^2+p_{{\gamma }^{\prime }}^2{c}^2-2c^2{p}_{\gamma }{p}_{{\gamma }^{\prime }}\cos \theta .}$

پس از جاگذاری تکانه فوتون با ${\displaystyle hf/c}$

${\displaystyle p_{e^{\prime }}^2{c}^2=(hf{)}^2+(h{f}^{\prime }{)}^2-2(hf)(h{f}^{\prime })\cos \theta .(2)}$

حال معادلات ۱ و ۲ را مساوی قرار می‌دهیم:

${\displaystyle (hf+m_e{c}^2-h{f}^{\prime }{)}^2-m_e^2{c}^4={\left(hf\right)}^2+{\left(h{f}^{\prime }\right)}^2-2h^{2}f{f}^{\prime }\cos \theta .,}$

${\displaystyle 2hf{m}_e{c}^2-2h{f}^{\prime }{m}_e{c}^2=2h^{2}f{f}^{\prime }\left(1-\cos \theta \right).}$

دو طرف معادله را بر ${\displaystyle (2hff{}^{\prime }{m}_{e}c)}$

${\displaystyle \frac{c}{f^{\prime }}-\frac{c}{f}=\frac{h}{m_{e}c}\left(1-\cos \theta \right).}$

${\displaystyle f\lambda =f^{\mathrm{\prime }}{\lambda }^{\mathrm{\prime }}=c,}$

معادله تفرق کامپتون به شکل زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle {\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta ).}$

• فوتون