پدیده‌های کوانتومی ماکروسکوپی

مفهوم اشغال ماکروسکوپی حالت‌های کوانتومی توسط فریتز لاندن معرفی شد.در اینجا توضیح داده خواهد شد که معنای اشغال حالت پایه توسط تعداد بسیاری از ذرات چیست. تابع موج حالت پایه چنین است:

${\displaystyle \mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_0\exp (i\phi )}$

که در آن ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \int \mathrm{\Psi }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{d}V=N_s.}$

تعبیر فیزیکی کمیت

${\displaystyle \mathrm{\Psi }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Delta }V}$

به تعداد ذرات بستگی دارد. تصویر ۱ ظرفی را دارای تعدادی ذره با حجم کنترلی کوچک ΔV در آن نشان می‌دهد. در هر قسمت تعداد ذرات موجود در جعبه کنترلی را حساب می‌کنیم. سه حالت مختلف وجود دارد:

۱. تنها یک ذره وجود دارد. در این حالت حجم کنترلی اکثر اوقات خالی است. هرچند احتمال یافت شدن ذره در این حجم توسط رابطه زیر (همان رابطه قبل) داده می‌شود:

${\displaystyle \mathrm{\Psi }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\Delta }V}$

این احتمال با ΔV متناسب است. عبارت ΨΨ چگالی احتمال خوانده می‌شود.

1. اگر تعداد ذره‌ها کمی بیشتر باشد غالباً چند ذر در جعبه یافت می‌شوند. می‌توان یک مقدار متوسط تعریف کرد، اما نوسان تعداد مورد نظر حول این متوسط زیاد است.
2. در حالت تعداد بسیار زیاد ذره همیشه تعداد زیادی ذره در جعبه کوچک خواهد بود. نوسان تعداد ذرات حول مقدار متوسط کوچک است. مقدار متوسط متناسب با ΔV است و ΨΨ اکنون به عنوان چگالی ذرات تعبیر می‌شود.

در کوانتوم مکانیک چگالی احتمال شارش ذره J_p (واحد: ذره بر ثانیه بر متر مربع) می‌تواند از معادله شرودینگر به دست می‌آید:

${\displaystyle {\overrightarrow{J}}_p=\frac{1}{2m}(\mathrm{\Psi }(i\frac{h}{2\pi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}-q\overrightarrow{A}){\mathrm{\Psi }}^{\ast }+cc)}$

که در آن q بار الکتریکی ذره و ${\displaystyle \overrightarrow{A}}$

${\displaystyle {\overrightarrow{J}}_p=\frac{{\mathrm{\Psi }}_0^2}{m}(\frac{h}{2\pi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi -q\overrightarrow{A}).}$

اگر تابع موج به‌طور ماکروسکوپی اشغال شده باشد آنگاه چگالی احتمال شارش ذره تبدیل به احتمال شارش ذره خواهد شد. سرعت شاره v_s را با استفاده از چگالی شارش جرم تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle m{\overrightarrow{J}}_p={\rho }_s{\overrightarrow{v}}_s.}$

${\displaystyle m{\mathrm{\Psi }}_0^2={\rho }_s}$

بنابراین می‌توان نوشت:

${\displaystyle {\overrightarrow{v}}_s=\frac{1}{m}(\frac{h}{2\pi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi -q\overrightarrow{A}).}$

این رابطهٔ مهم سرعت را که یک مفهوم کلاسیک است را به فاز تابع موج که یک مفهوم کوانتوم مکانیکی است مربوط می‌کند.

در این قسمت چگالش بوز-اینشتین را بررسی می‌کنیم و دمای T_B را که در دمای کمتر از آن پدیده‌های ماکروسکوپی کوانتومی روی می‌دهد می‌یابیم. یک سیستم شامل یک مول ذره را در نظر بگیریم تعداد ذرات برابر عدد آووگادرو N_A خواهد بود و حجم آن برابر حجم مولار V_m خواهد بود. چگالی حالت‌ها توسط رابطهٔ زیر داده می‌شود:

در اینجا δn تعداد حالات کوانتوم مکانیکی در یک نوار انرژی از E تا E+δE است. برای یک گاز ایدئال با ذراتی به جرم m و اسپین ۰ چگالی حالت‌ها توسط رابطه زیر داده می‌شود:

که در آن h ثابت پلانک است. در آمار بوز-اینشتین در تعداد متوسط ذرات اشغال‌کننده یک حالت کوانتومی برابر است با:

در اینجا μ پتانسیل شیمیایی برای هر ذره و k ثابت بولتزمان است. با استفاده از این معادلات، N_A می‌شود:

برای اینکه انتگرال در بازه انرژی از ۰ تا ∞ واگرا نشود، باید فرض کنیم:

بنابراین پتانسیل شیمیایی μ می‌تواند برحسب تابعی از T محاسبه شود. در دماهای بالا طبق انتظار μ<۰ خواهد بود. نکته مهم این است که مقدار μ در دمای T_B که بالاتر از صفر است برابر صفر می‌شود. این دما از رابطه‌های قبل با فرض μ=۰ به دست می‌آید. با فرض x=E/kT، به دست می‌آوریم:

انتگرال توسط روش‌های عددی محاسبه می‌شود. این انتگرال معمولاً بر حسب تابع زتای ریمان نوشته می‌شود:

بنابراین معادله ۶ می‌شود:

در نتیجه:

یا:

برای مقادیر مربوط به هلیوم مایع (با جرم مولار 0.004 kg/mol و V_m=27.6 cm³/mol) مقدار T_B=3.1 K به دست می‌آید که به مقدار ۲٫۱۷K که نقطه لاندا (T_λ)است و گذار به ابرشارگی در آن دما اتفاق می‌افتد بسیار نزدیک است. با وجود اینکه هلیوم-۴ یک گاز ایدئال نیست این نتایج نشانهٔ این هستند که ابرشارگی ناشی از چگالش بوز-اینشتین است.