هندسه محدب
در ریاضیات، هندسهٔ محدب یک شاخه از هندسه است که به بررسی مجموعههای محدب میپردازد. مجموعههای محدب در زمینههای بسیاری از جمله هندسه محاسباتی، آنالیز محدب، آنالیز تابعی، برنامهریزی خطی، نظریه احتمالات، هندسهٔ اعداد و غیره کاربرد دارد.
مطابق خوشهبندی موضوعی ریاضیات موضوعات هندسهٔ محدب دارای سه بخش اصلی زیر است:
- تحدب عمومی
- چندوجهیها
- هندسهٔ گسسته
موضوعات مورد بحث در هندسهٔ محدب در ترکیبیات نیز کاربرد دارند.
تاریخچه
هندسهٔ محدب یک رشته نسبتاً جوان در ریاضیات است. اولین بررسیها در هندسهٔ محدب را میتوان در نوشتههای اقلیدس و ارشمیدس پیدا نمود ولی با فعالیتهای هرمان بران
(به انگلیسی: Hermann Brunn) و هرمان مینکوفسکی در هندسهٔ دو بعدی و سه بعدی در قرن بیستم، هندسهٔ محدب به صورت یک شاخهٔ مستقل از ریاضیات در نظر گرفته شد. بسیاری از نتایج آن به سرعت به ابعاد بالاتر از سه تعمیم داده شد. در سال ۱۹۳۴ میلادی تامی بانیسین (به انگلیسی: Tommy Bonnesen) و ورنر فنشل یک تحقیق جامع در رابطه با هندسهٔ محدب در فضای اقلیدسی
هندسه محدب مجانبی
هندسه محدب مجانبی (به انگلیسی: asymptotic convex geometry) یا هندسه محدب مدرن (به انگلیسی: modern convex geometry) یک شاخه از هندسه محدب است که به بررسی شکل و قوانین حاکم بر مجموعههای محدب در ابعاد بالا و بینهایت میپردازد. هندسه محدب سنتی هندسه اشکال محدب و روابط هندسی بین آنها در فضای اقلیدسی و با ابعاد پایین را تحلیل میکند. با میل دادن ابعاد به سمت بینهایت ویژگیهای خطی و هندسی یک فضای نرم دار با ابعاد محدود یا اشکال محدب، یک رفتار مجانبی از خود نشان میدهند. در نظریهٔ هندسه محدب مجانبی، پدیدههای غیرمنتظره، ساختارهای پنهان زیادی کشف شده و شهودهای و ابزار جدیدی بدست آمده است. این نظریه ساختار و مرتبهٔ اشکال را در ابعاد بالا مشخص میکند.
اشکال محدب ابعاد بالا
پرسش اصلی در هندسه محدب ابعاد بالا این است که یک جسم محدب در ابعاد بالا به شکل است؟. یک پاسخ اکتشافی به این سؤال این است که مجموعه محدب
اگر
در ابعاد بالا اگر مجموعه در
مثال
با در نظر گرفتن مجموعه به صورت
تمرکز حجم
مطابق آنچه در کتاب Concentration of mass on convex bodies آمده، تمرکز جحم در حول توده و شاخکهای باریک در اشکال محدب همسانگرد را به صورت زیر بیان شده است:
توزیع حجم در مجموعههای محدب ابعاد بالا
اگر مجموعه
- (تمرکز حجم) برای هر در یکی:
- (پوسته نازک) برای هر در یکی:
منابع
- ↑ «Mathematics Subject Classification MSC2010, entry 52A "General convexity"». بایگانیشده از اصلی در ۲ آوریل ۲۰۱۵. دریافتشده در ۳۰ ژانویه ۲۰۱۷.
- ↑ " (1987)Bonnesen, Tommy, et al. "Theory of convex bodies.
- ↑ Gruber, P. M. , J. M. Wills, and G. M. Ziegler. "Handbook of convex geometry." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 98.4 (1996): 40-40.
- ↑ Vershynin, Roman. "Estimation in high dimensions: a geometric perspective." Sampling theory, a renaissance. Springer International Publishing, 2015. 3-66.
- ↑ Giannopoulos, A. A. , and V. D. Milman. "Asymptotic Convex Geometry Short Overview." Different faces of geometry. Springer US, 2004. 87-162.
- ↑ Milman, Vitali. "Surprising geometric phenomena in high-dimensional convexity theory." European Congress of Mathematics. Birkhäuser Basel, 1998.
- ↑ Paouris, Grigoris. "Concentration of mass on convex bodies." Geometric & Functional Analysis GAFA 16.5 (2006): 1021-1049.