هم‌خطی چندگانه

مشکلاتی که همخطی کامل به وجود می‌آورد با مشکلاتی که همخطی ناقص به وجود می‌آورد از دو دسته کاملاً متفاوت هستند؛ بنابراین تقسیم‌بندی زیر صورت می‌گیرد:

• همخطی کامل

اگر رگرسیون اصلی را به فرم زیر در نظر بگیریم:

${\displaystyle Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{1i}+\cdots +{\beta }_k{X}_{ki}+{\epsilon }_i}$

که در آن i نشان دهندهٔ تعداد مشاهدات و K نشان دهندهٔ تعداد متغیرهای مستقل است. همخطی کامل زمانی اتفاق می‌افتد که یک رابطه خطی دقیق بین دو یا چند متغیر مستقل برقرار باشد. یعنی:

${\displaystyle {\lambda }_0+{\lambda }_1{X}_{1i}+{\lambda }_2{X}_{2i}+\cdots +{\lambda }_k{X}_{ki}=0}$

در این حالت که همبستگی بین متغیرهای مستقل کامل است، ضرایب مدل قابل برآورد نخواهند بود چراکه برای برآورد ضرایب یک مدل رگرسیون چندمتغیره می‌بایست ماتریس ${\displaystyle X^{T}X}$

که به تبع آن ماتریس ${\displaystyle X^{T}X}$

• همخطی ناقص

اگر یک رابطه خطی غیر دقیق بین دو یا چند متغیر مستقل برقرار شود با همخطی ناقص مواجه خواهیم بود:

${\displaystyle {\lambda }_0+{\lambda }_1{X}_{1i}+{\lambda }_2{X}_{2i}+\cdots +{\lambda }_k{X}_{ki}+v_i=0.}$

در عبارت فوق، وجود متغیر تصادفی Vi نشان دهنده نادقیق بودن رابطه خطی است. در حالت همخطی ناقص ماتریس ${\displaystyle X^{T}X}$

۱- ضرایب برآوردی نسبت به کم یا اضافه کردن متغیر در مدل از خود حساسیت نشان می‌دهند.

۲- در حالت همخطی رگرسیون به‌طور کلی معنادار بوده و دارای ${\displaystyle R^2}$

۳- اگر تک تک متغیرهای مستقل را روی بقیه متغیرهای توضیح دهنده رگرسیون کرده و ${\displaystyle R^2}$

۴- اگر با خارج کردن یک متغیر از مدل یا اضافه کردن یک متغیر به آن، ${\displaystyle R^2}$

۵- معیار TOLERANCE و VIF:

${\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}=1-R_j^2,\mathrm{V}\mathrm{I}\mathrm{F}=\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}}$

${\displaystyle R_j^2}$

1. چون در حالت همخطی اطلاعات مستقل در مورد هریک از متغیرهای مستقل وجود ندارد، لذا نمی‌توان اثرات جزئی متغیرهای مذکور روی متغیر وابسته را برآورد کرد.
2. هنگامیکه همبستگی شدید بین متغیرهای مستقل وجود داشته باشد، کوواریانس و واریانس ضرایب بزرگتر برآورد خواهند شد.
3. ضرایب برآوردی همچنان بدون تورش اند و خاصیت BLUE همچنان برقرار است؛ گرچه کمیت بدست آمده برای آن‌ها غیرقابل اعتماد است.
4. در حالتی که با همخطی شدید در مدل مواجهیم، پیش‌بینی‌های صورت گرفته از آن غیرقابل اعتماد خواهد بود. در این حالت پیش‌بینی‌ها براساس مدلی که دارای زیر مجموعه ای از متغیرهای مستقل مدل اصلی است، بهتر صورت می‌گیرد.

• فرایند نمونه‌گیری: نحوه نمونه‌گیری، اندازه‌گیری‌های نادرست و نقص در محدوده داده‌های مورد بررسی همگی می‌توانند موجب بروز همخطی شوند.
• تصریح مدل آماری: شاید همخطی ناشی از وجود روند زمانی در مدل باشد. حال با در نظر گرفتن یک متغیر روند می‌توان اثر روند زمانی را خنثی کرد.
• اضافه گویی (overspesification): چنانچه بیش از حد متغیر توضیح دهنده در مدل در نظر گرفته شود، امکان تداخل بین اطلاعات خالصی که هر متغیر به‌طور مستقل ارائه می‌کند بیشتر شده و در نتیجه امکان بروز همخطی بیشتر می‌شود.
• تصریح غلط مدل نظری: هنگامیکه عوامل مؤثر در مدل درست تشخیص داده نشوند؛ ممکن است دو متغیر در مدل در نظر گرفته باشیم که هردو در واقع به یک متغیر سومی وابسته‌اند. در حالیکه اساساً باید متغیر سوم که منشأ تغییرات است به جای دو متغیر مذکور در مدل لحاظ شود.

• افزایش در حجم نمونه
• حذف متغیرهای مشکوک به ایجاد همخطی از مدل
• تغییر مقیاس یا تغییر فرم مدل؛ برای مثال لگاریتمی‌کردن مدل
• قرار دادن یکسری قیود خاص در مدل؛ برای مثال در مورد تابع تولید، همگنی از درجه ۱ لحاظ شود.

• ویکی‌پدیای انگلیسی
• Davidson R.، MacKinnon J.G. Econometric theory and methods
• Greene, W. Econometric Analysis. 4th ed. , 2000. New York: Prentice-Hall