حساب کاربری
​
زمان تقریبی مطالعه: 2 دقیقه
لینک کوتاه

همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند

همۀ اسب‌ها یک‌رنگ هستند (به انگلیسی: All horses are the same color) یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از استقرای ریاضی تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ n

-تایی از اسب‌ها یک‌رنگ هستند. صورت قضیه را می‌توان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت n
، هر مجموعهٔ n
-تایی از اسب‌ها همواره یک‌رنگ هستند.»

این مسئله را جورج پولیا طراحی کرده‌است.

فهرست

  • ۱ برهان
  • ۲ اشتباه
  • ۳ جستارهای وابسته
  • ۴ منابع

برهان

گام اول
برای n = 1
درستی بدیهی است؛ زیرا در هر مجموعهٔ یک‌اسبی همهٔ اسب‌ها با یکدیگر هم‌رنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).
گام دوم
فرض می‌کنیم در هر مجموعهٔ n
-تایی از اسب‌ها همهٔ اسب‌ها یک‌رنگ هستند. حال یک مجموعهٔ n + 1
-تایی از اسب‌ها را در نظر می‌گیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا می‌کنیم، مجموعهٔ n
اسب باقی‌مانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمی‌گردانیم و اسب دیگری را جدا می‌کنیم و باز هم مجموعهٔ n
-تایی باقی‌مانده هم‌رنگ خواهند بود. نتیجه می‌گیرم که همهٔ اسب‌های مجموعهٔ n + 1
-تایی نیز یک‌رنگ هستند. به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ n
-تایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند؛ پس با توجه به ترایا بودن رابطهٔ همرنگی می‌توان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسب‌ها یک‌رنگ هستند.

اشتباه

یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال به‌کار رفته برای هر مجموعهٔ n + 1

-عضوی صادق است مگر حالت n = 1
، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یک‌اسبی هم‌رنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان می‌دهد که در استقرای ریاضی اثبات‌پذیر بودن گزارهٔ n + 1
به ازای همهٔ n
-های بزرگتر-مساویِ فرضِ اولیه دارای اهمیت است.

جستارهای وابسته

  • پارادوکس
  • فهرست پارادوکس‌ها

منابع

  1. ↑ Shick, Topology: Point-Set and Geometric, 31.
  2. ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 23.
  3. ↑ Bauldry, Introduction to Real Analysis: An Educational Approach, 243.
  4. ↑ Shick, Topology: Point-Set and Geometric, 31.
  5. ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 24.
  6. ↑ Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory, 24.
  • Bauldry, William C. (2011). Introduction to Real Analysis: An Educational Approach (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.
  • Bóna, Miklós (2006). A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory (به انگلیسی). World Scientific. Retrieved 2013-04-21.
  • Shick, Paul L. (2011). Topology: Point-Set and Geometric (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.
آخرین نظرات
  • پارادوکس
کلیه حقوق این تارنما متعلق به فرا دانشنامه ویکی بین است.