همبستگی جزئی

در آمار و احتمال، همبستگی جزئی یا همبستگی پاره‌ای میزان پیوستگی بین دو متغیر تصادفی را اندازه می‌گیرد در حالی که تأثیر دیگر متغیرها حذف شده‌اند.

همبستگی جزئی بین دو متغیر X و Y زمانی که n متغیر کنترل Z = {Z₁, Z₂, … , Z_n} داده شده‌اند به صورت ρ_XY·Z نمایش داده می‌شود و برابر با ضریب همبستگی بین باقیمانده‌های R_X وR_Y حاصل از رگرسیون خطی X برحسب Z و Y برحسب Z است.

به عبارت دقیق‌تر، ابتدا دو رگرسیون خطی زیر انجام می‌شوند:

${\displaystyle {\mathbf{w}}_X^{\ast }=\arg \underset{\mathbf{w}}{min}\left\{\sum _{i=1}^N(x_i-⟨\mathbf{w},{\mathbf{z}}_i⟩{)}^2\right\}}$

${\displaystyle {\mathbf{w}}_Y^{\ast }=\arg \underset{\mathbf{w}}{min}\left\{\sum _{i=1}^N(y_i-⟨\mathbf{w},{\mathbf{z}}_i⟩{)}^2\right\}}$

که در آن N اندازهٔ نمونه و ${\displaystyle ⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩}$

${\displaystyle r_{X,i}=x_i-⟨{\mathbf{w}}_X^{\ast },{\mathbf{z}}_i⟩}$

${\displaystyle r_{Y,i}=y_i-⟨{\mathbf{w}}_Y^{\ast },{\mathbf{z}}_i⟩}$

و همبستگی جزئی نمونه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\displaystyle {\hat{\rho }}_{XY\cdot \mathbf{Z}}=\frac{N\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}{r}_{Y,i}-\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}}{\sqrt{N\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}\right)}^2}\sqrt{N\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}\right)}^2}}.}$