هماهنگ‌های کروی

معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }r}\left(r^2\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }\left(\sin \theta \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }\theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{\phi }^2}=0}$

با تبدیل ‎f(r,θ،φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)‎ ، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\Phi }(\phi )}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }\left(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta }\right)+\frac{\mathrm{\Theta }(\theta )}{{\sin }^2\theta }\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\phi }^2}+l(l+1)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\phi )=0.}$

با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Phi }(\phi )}\frac{d^2\mathrm{\Phi }(\phi )}{d{\phi }^2}=-m^2}$

${\displaystyle l(l+1){\sin }^2(\theta )+\frac{\sin (\theta )}{\mathrm{\Theta }(\theta )}\frac{d}{d\theta }\left[\sin (\theta )\frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta }\right]=m^2}$

برای هر m و l. بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:

${\displaystyle Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=N{e}^{im\phi }{P}_{\ell }^m(\cos \theta ),}$

که در آن ${\displaystyle Y_{\ell }^m}$

• هماهنگ‌های کروی در وب‌گاه MathWorld