نیم‌گروه

در ریاضیات نیم‌گروه (به انگلیسی: semigroup) ساختاری جبریست که یک مجموعه مجهز به عمل دوتایی شرکت‌پذیر است.

خاصیت شرکتپذیری الصاق رشته‌ها

ساختارهای جبری بین ماگماها و گروه‌ها: یک نیم-گروه ماگمایی است که خاصیت شرکت‌پذیری دارد. یک تکوار (مونوئید) نیم‌گروهی است که عضو همانی داشته باشد.

عملیات دوتایی یک نیم‌گروه اغلب به صورت ضربی: $x . y$

یا

x y

نوشته شده که نتیجه اعمال عمل نیم‌گروه به زوج مرتب

(x,y)

می باشد. شرکت‌پذیری را برای تمام

x, y, z

درون نیم‌گروه به صورت صوری

(x.y).z=x.(y.z)

بیان می کنند.

نیم‌گروه‌ها را می توان به عنوان حالت خاصی از ماگماها در نظر گرفت، که در آن عمل دوتایی شرکت پذیر است. یا می توان آن ها را به صورت تعمیمی از گروه ها بدون الزام به وجود عنصر معکوس پذیر در نظر گرفت.

همچون گروه ها و ماگماها، عمل نیم‌گروه ها نیز لزوماً جابجایی نیستند، بنابر این $x . y$

لزوماً برابر با

y . x

نیست؛ یک مثال شناخته شده از عملیاتی که شرکتپذیر است اما ناجابجایی است، عمل ضرب ماتریسی است. اگر عمل نیم‌گروه جابجایی باشد، آنگاه به نیم گروه مورد نظر، نیم‌گروه جابجایی گویند.

تعریف

یک نیم‌گروه، مجموعه ای چون $S$

با عمل دوتایی "." (یعنی تابعی چون

.:S\times S\leftarrow S

) است به گونه ای که در خاصیت شرکت‌پذیری صدق کند:

برای تمام

a,b,c\in S

، معادله

(a.b).c=a.(b.c)

برقرار است.

به طور خلاصه تر می توان گفت که نیم‌گروه یک ماگمای شرکت پذیر است.

یادداشت‌ها

↑ اصول موضوعه بستار با تعریف عمل دوتایی روی یک مجموعه به صورت خودکار اعمال می شود. لذا برخی از مؤلفان این الزام را حذف می کنند و سه اصول موضعه گروه و فقط یک اصل (شرکت پذیری) برای نیم گروه را ذکر می کنند.

منابع

منابع عمومی

Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-851194-6, Zbl 0835.20077.
Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1961), The Algebraic Theory of Semigroups, vol. 1, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0271-7, Zbl 0111.03403.
Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1967), The Algebraic Theory of Semigroups, vol. 2, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0272-4, Zbl 0178.01203.
Grillet, Pierre A. (1995), Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-9662-4, Zbl 0830.20079.
Grillet, Pierre A. (2001), Commutative Semigroups, Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-7067-3, Zbl 1040.20048.
Hollings, Christopher (2009) "The early development of the algebraic theory of semigroups", Archive for History of Exact Sciences 63(5): 497–536.
Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-1493-1, Zbl 1317.20001.
Petrich, Mario (1973), Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill, ISBN 978-0-675-09062-9, Zbl 0321.20037.

منابع تخصصی

Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications, vol. II (2nd ed.), Wiley, MR 0270403.
Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0821874646, MR 0423094.
Suschkewitsch, Anton (1928), "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit", Mathematische Annalen, 99 (1): 30–50, doi:10.1007/BF01459084, hdl:10338.dmlcz/100078, ISSN 0025-5831, MR 1512437.
Kantorovitz, Shmuel (2009), Topics in Operator Semigroups, Springer, ISBN 978-0-8176-4932-6, Zbl 1187.47003.
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Lawson, M.V. (1998), Inverse semigroups: the theory of partial symmetries, World Scientific, ISBN 978-981-02-3316-7, Zbl 1079.20505
Lothaire, M. (2011) [2002], Algebraic combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 90, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-18071-9, Zbl 1221.68183

[1] اصول موضوعه بستار با تعریف عمل دوتایی روی یک مجموعه به صورت خودکار اعمال می شود. لذا برخی از مؤلفان این الزام را حذف می کنند و سه اصول موضعه گروه و فقط یک اصل (شرکت پذیری) برای نیم گروه را ذکر می کنند.