قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی

در نظریه اعداد قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی، قضیه ای است که می‌گوید اگر دو عدد طبیعی a و b نسبت به هم اول باشند. تعداد اعداد اول به صورت a+bk بی‌نهایت است که در آن k=۱٬۲٬۳،... است. این اعداد دنباله حسابی به صورت زیر می‌سازند:

${\displaystyle a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ \dots ,\ }$

این نظریه تعمیمی است بر نظریه اقلیدس است که بیان می‌دارد تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. مثال اگر a و b را به ترتیب ۳ و ۴ انتخاب کنیم نتایج به صورت زیر است:

۳، ۷، ۱۱، ۱۹، ۲۳، ۳۱، ۴۳، ۴۷، ۵۹، ۶۷، ….

قضیه دیریکله نشان می‌دهد که

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }$

یک سری واگرا است.

جدول زیر چند عدد اول که از این نظریه به دست آمده‌اند را نشان می‌دهد

سری آریتمیک	ده عدد اول	آی‌دی OEIS
۲n + ۱	۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹, ۲۳, ۲۹, ۳۱, …	A065091
۴n + ۱	۵, ۱۳, ۱۷, ۲۹, ۳۷, ۴۱, ۵۳, ۶۱, ۷۳, ۸۹, …	A002144
۴n + ۳	۳, ۷, ۱۱, ۱۹, ۲۳, ۳۱, ۴۳, ۴۷, ۵۹, ۶۷, …	A002145
۶n + ۱	۷, ۱۳, ۱۹, ۳۱, ۳۷, ۴۳, ۶۱, ۶۷, ۷۳, ۷۹, …	A002476
۶n + ۵	۵, ۱۱, ۱۷, ۲۳, ۲۹, ۴۱, ۴۷, ۵۳, ۵۹, ۷۱, …	A007528
۸n + ۱	۱۷, ۴۱, ۷۳, ۸۹, ۹۷, ۱۱۳, ۱۳۷, ۱۹۳, ۲۳۳, ۲۴۱, …	A007519
۸n + ۳	۳, ۱۱, ۱۹, ۴۳, ۵۹, ۶۷, ۸۳, ۱۰۷, ۱۳۱, ۱۳۹, …	A007520
۸n + ۵	۵, ۱۳, ۲۹, ۳۷, ۵۳, ۶۱, ۱۰۱, ۱۰۹, ۱۴۹, ۱۵۷, …	A007521
۸n + ۷	۷, ۲۳, ۳۱, ۴۷, ۷۱, ۷۹, ۱۰۳, ۱۲۷, ۱۵۱, ۱۶۷, …	A007522
۱۰n + ۱	۱۱, ۳۱, ۴۱, ۶۱, ۷۱, ۱۰۱, ۱۳۱, ۱۵۱, ۱۸۱, ۱۹۱, …	A030430
۱۰n + ۳	۳, ۱۳, ۲۳, ۴۳, ۵۳, ۷۳, ۸۳, ۱۰۳, ۱۱۳, ۱۶۳, …	A030431
۱۰n + ۷	۷, ۱۷, ۳۷, ۴۷, ۶۷, ۹۷, ۱۰۷, ۱۲۷, ۱۳۷, ۱۵۷, …	A030432
۱۰n + ۹	۱۹, ۲۹, ۵۹, ۷۹, ۸۹, ۱۰۹, ۱۳۹, ۱۴۹, ۱۷۹, ۱۹۹, …	A030433