نابرابری یانگ
صورت نامساوی یانگ (به انگلیسی: young's inequality): اگر a,b>۰ و p و q اعداد حقیقی و مثبت باشند به نحوی که مجموع معکوسهای p و q برابر یک باشد، آنگاه a/p+b/q≥ab
اثبات
این قضیه را برای اعداد گویای p و q ثابت میکنیم و سپس میتوان قضیه را برای p,qهای گنگ نیز تعمیم داد.
قرار میدهیم x۱=x۲=... =xm=X و xm+1=xm+2=... =xn=Y و از نامساوی حسابی-هندسی استفاده میکنیم. (n≥m):
[x۱+x۲+... +xm+xm+1+xm+2+... +xn ≥ \sqrt[n
{x۱.x۲.....xm.xm+1.xm+2.....xn}. n ---> mX+(n-m)Y ≥ \sqrt[n]{X.Y}.n
میدانیم که n≥m≥1 پس میتوان n و m را طوری انتخاب کرد که m/n برابر هر عدد گویایی در بازه ی [۱٬۰] باشد، پس میتوان فرض کرد که p=n/m و q=n/n-m (این دو مقدار در شرایط فرض صدق میکنند) و با توجه به نامساوی که بدست آوردیم به این نتیجه میرسیم که:
X/p+Y/p ≥ X.Y
که با جایگذاری Y=b و X=a به نامساوی a/p+b/q≥ab تبدیل میشود.
منابع
- مباحث و مسائل جبر در المپیاد ریاضی، مهدی صفا، تهران، انتشارات خوشخوان، ۱۳۸۹، ص ۲۹