مفصل (آمار)

مَفصل یا کوپولا (به انگلیسی: copula) تابعی است که از روی توابع توزیع یک‌بعدی، با توجه به نحوهٔ وابستگی متغیرها، تابع توزیع چندمتغیره می‌سازد. یک مَفصل دوبعدی C:I->I مشخصات زیر را دارد. شرط آخر به‌معنای یکنواخت صعودی بودن مَفصل‌ها است.

C(0,t)=C(t,0)=0

C(1,t)=C(t,1)=t

$\forall t,u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in I\Rightarrow C(u_{2},v_{2})+C(u_{1},v_{1})-C(u_{1},v_{2})-C(u_{2},v_{1})\geq 0.$

(u_{2}\geq u_{1},v_{2}\geq v_{1})

مَفصل (copula) در لغت به‌معنای «عضو رابط» و «وسیلهٔ ارتباط» است.

مفصل به دلیل نمایان کردن بهتر خواص اماری بین داده ها در حوزه داده کاوی و ماشین لرنینگ در حال استفاده است و همچنین در حوزه مالی نیز از این ابزار استفاده میکنند .

در پایتون کتاب خانه ای با همین نام و اپن سورس وجود دارد که برای مطالعه بیشتر میتوانید از این لینک استفاده کنید :

https://sdv.dev/Copulas/tutorials/00_Quickstart.html

قضیه اسکلار

طبق قضیهٔ اسکلار (Sklar)، اگر H یک توزیع دومتغیره با توابع حدی F و G باشد، مَفصلی وجود دارد که رابطهٔ ((H(X,Y)=C(F(X),G(Y را برقرار کند. برعکس، برای هر جفت توزیع یک‌متغیرهٔ (F(X و (G(Y و هر مَفصل C، تابع H یک توزیع دومتغیره با توابع حدی F و G است. اگر F و G پیوسته باشند، C یکتا خواهد بود.

انواع

توابع زیادی برای مَفصل‌ها پیشنهاد شده‌اند که برخی از آنها عبارت‌اند از:

مفصل چند متغیره گوسی
مفصل تی
مفصل دکارتی
مفصل واین ( Vine Copula ) که به سه دسته تقسیم میشود ( {منظم : regular} و { مستقیم : direct} و { مرکز : center} )

منابع

↑
Weisstein, Eric W. "Copula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Copula.html

[1] 
Weisstein, Eric W. "Copula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Copula.html