مغالطه قمارباز

سکّه

فرض کنید یک سکّهٔ سالم داریم که احتمال شیر و خط آمدن آن برابر ۰/۵ باشد. حال می خواهیم با این سکّه یک بازی به شرح زیر انجام دهیم:

شخصی قرار است شیر و یا خط بودن سکه را درست پیش‌بینی کند. سکه را چند بار پرتاب می‌کنیم، که نتیجتاً برای مثال احتمال شیر آمدن در تمام پرتاب‌ها با توجه به قانون احتمال برابر است با:

${\displaystyle P(A)=P(\bigcap _{i=1}^n{A}_i)=\prod _{i=1}^{n}P(A_i)=(\frac{1}{2}{)}^n}$

که ${\displaystyle \text{n}}$

اکنون اگر در چهار پرتاب به صورت متوالی هر چهار دفعه «شیر» بیاید، احتمال آن برابر است با: ${\displaystyle P(A)=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}}$

از این رو ممکن است فردی تصوّر کند که در پرتاب بعدی احتمال «خط» آمدن بیشتر از «شیر» باشد (این باور غلط یک نمونه از این سفسطه است)؛ در حالی که پرتاب کردن یک سکه متغیّری مستقّل است و وابستگی میان آخرین پرتاب و پرتاب‌های قبلی وجود ندارد. در نتیجه احتمال شیر یا خط آمدن پرتاب آخر، همچنان برابر است با: ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

چون پرتاب‌ها مستقل از یکدیگرند، می‌توان این قضیه را توسّط «قضیهٔ بیز» دقیق‌تر اثبات کرد. بدین نحو که اگر پیشامد ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{P(B|A)\times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}{)}^4}}$

اکنون برای پیدا کردن ${\displaystyle P(B|A)}$

${\displaystyle P(A|B)=\frac{(\frac{1}{2}{)}^4\times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}{)}^4}=\frac{1}{2}}$

تاس

فردی یک تاس را ۱۰ مرتبه می‌اندازد. اگر حداقل یکبار ۱ بیاید، برنده می شود. می‌دانیم تاس سالم است و در نتیجه احتمال آمدن هر یک از وجوه آن برابر است با: ${\displaystyle \frac{1}{6}}$

یک مثال مشهور در سال ۱۹۱۳ در کازینوی مونت کارلو رخ داد که در یک بازی، توپی ۲۶ بار به صورت متوالی در جایگاه سیاه قرار گرفت که احتمال آن تقریباً برابر با یک در ۶۶ میلیون بوده است. طی فرآیند، با مشاهده چندین بار قرار گرفتن توپ در جایگاه سیاه و با استنباط اینکه در مرحله بعدی در جایگاه قرمز قرار میگیرد، بسیاری از شرکت کننده‌ها روی قرمز شرط‌بندی کردند و نهایتاً باختند.

یک مورد دیگر از این سفسطه چنین است که برخی والدین بعد از داشتن چند فرزند با جنسیت یکسان، گمان می‌کنند که احتمال آمدن فرزند بعدی با جنس مخالف، بیشتر است که همین مورد را «پیر سیمون لاپلاس» در مقالهٔ سال ۱۷۹۶ خود ذکر کرده است.