معادله میدان

گرانش نیوتنی (کلاسیک)

اولین نظریه میدان گرانشی، نظریه گرانش نیوتن بود که در آن گرانش از یک قانون مربع معکوس پیروی می‌کند. این نظریه در توصیف حرکت سیارات به دور خورشید بسیار مفید بود.

میدان گرانش در نقطه r ناشی از جرمهای مختلف M_i واقع در نقاط r_i از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf {g} =-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}},}$

که در آن G ثابت گرانش نیوتن است. جهت نقاط میدان از نقطه r به سوی نقاط جرمهای r_i است؛ یک علامت منفی این موضوع را تضمین می‌کند. این به طور خلاصه بدان معنی است که تمام جرمها جذب می‌کنند.

نسبیت عام

امروزه نظریه نسبیت عام اینشتین که در آن گرانش ناشی از خمش فضازمان بر اثر جرمها پنداشته می‌شود، گرانش نیوتنی را پشت سر گذاشته است. معادلات میدان اینشتین توصیف می کنند که چگونه این خمش توسط جرم ایجاد می‌شود:

${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}.}$

که در آن κ = ۸πG/c یک ثابت است (که در معادلات میدان اینشتین وجود دارد ولی در عمل وجود ندارد).

پاسخهای خلاء را می‌توان با تغییر دادن عمل اینشتین-هیلبرت نسبت به متریک به دست آورد

${\displaystyle S[g]=k\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

معادلات میدان خلاء معادلات میدانی هستند که بدون ماده نوشته می‌شوند. پاسخهای معادلات میدان خلأ پاسخهای خلأ نامیده می‌شوند.

معادلات ماکسول

نیروی الکترومغناطیسی به بهترین شکل توسط نظریه الکترومغناطیس ماکسول بیان می‌شوند. معادلات میدان الکترومغناطیس کلاسیک معادلات ماکسول هستند که چگونگی تولید میدانهای الکترومغناطیسی توسط ذرات باردار را توصیف می‌کنند و به شکل زیر در چارچوب نسبیت خاص نوشته می‌شوند.

${\displaystyle F^{ab}{}_{,a}\,=kJ^{b}}$

این از لاگرانژین زیر نتیجه می‌شود

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {-1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}+j^{a}A_{a}.}$

نظریه کالوزا-کلین تلاش می‌کند که گرانش و الکترومغناطیس را دریک فضای پنج بعدی یکپارچه سازد.