مشتق لی

در ریاضیات ٬ مشتق لی که به افتخار سوفوس لی نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک میدان تانسوری ( در حالت کلی٬شامل میدان نرده‌ای و میدان برداری و یک-فرم)را در جهت یک شارش یک میدان برداری دیگر به‌دست می‌دهد. این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعریف می‌شود.

تعریف

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.

می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع ƒ : M → R و یک میدان برداری $X$ تعریف شده روی M ٬ مشتق لی ${\mathcal {L}}_{X}f$ یک تابع در راستای میدان $X$ با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار $f$ در راستای $X$ پنداشت.ینابراین در یک نقطه p ∈ M داریم:

({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq X_{p}(f)\triangleq (Xf)(p)

براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:

({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq \operatorname {d} f_{p}\,(X_{p})

با انتخاب مختصات x و با نوشتن : $X=X^{a}\partial _{a}$

که در آن

\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}

بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)=X^{a}(p)(\partial _{a}f)(p)

.

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

{\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]

تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( $\Phi _{t}^{X}$

تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است)

({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}:=\lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}-Y_{x}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}

{\mathcal {L}}_{X}Y:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X}\,

↑ Andrzej Trautman (2008), "Remarks on the history of the notion of Lie differentiation", “Variations, Geometry and Physics” in honour of Demeter Krupka’s sixty-fifth birthday O. Krupková and D. J. Saunders (Editors) Nova Science Publishers, pp. 297-302
↑ Ślebodziński W. (1931), Sur les équations de Hamilton, Bull. Acad. Roy. d. Belg. 17 (5) pp. 864-870
↑ Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993). p. 21.