مشتق پارامتری

مشتق پارامتری یک نوع مشتق در حسابان است و زمانی که هر دو متغیر وابسته و مستقل x و y به متغیر سومی (مانند t که زمان در نظر گرفته می‌شود) وابسته باشند بکار می‌رود. به عنوان مثال مجموعه از توابع را در نظر بگیرید که در آن:

${\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}$

${\displaystyle y(t)=3t.\,}$

مشتق اول معادله پارامتری بالا:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$

که در آن، ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}},}$

افتاد، یا به عبارت دیگر

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

که شکل رایج تر آن به صورت:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

می‌باشد و مشتق هر دو طرف با معادله بالا را نتیجه می‌دهد. ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}$

می‌شود که فرمول آن به صورت زیر می‌شود

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$

زمانی که ${\displaystyle {\dot {x}}}$

مشتق دوم یک معادله پارامتری به صورت زیر می‌باشد:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}}$