مدل رشد رمزی

این مدل دارای دو نسخه اصلی برنامه‌ریزی متمرکز و اقتصاد بازار است؛ و با فرض طول عمر نامحدود آحاد مردم، بازار رقابتی، بازده ثابت به مقیاس تابع تولید و همگن بودن مطلوبیت آحاد مردم نتایج هر دو نسخه یکی است.
در این بخش مدل رمزی در حالت برنامه‌ریزی متمرکز ارائه می‌شود. در مدل برنامه‌ریزی متمرکز چنین فرض می‌شود که دیکتاتوری خیرخواه به بهینه‌سازی تابع رفاه اجتماعی می‌پردازد. این برنامه‌ریز مرکزی با اشراف کامل بر ترجیحات یک یک آحاد جامعه توان نمایندگی آنها را دارد و لذا انتخاب وی بهترین انتخابی است که آحاد اقتصادی نیز در پی آن است.
فرض می‌شود جمعیت با نرخ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dot{k(t)}=f(k(t))-c(t)-\left(\delta +n+g\right)k(t)}$

${\displaystyle \dot{k(t)}}$

از سوی دیگر، برنامه‌ریز مرکزی رجحان‌های مصرفی طول عمر نامحدود جامعه را که همان ارزش حال مطلوبت حاصل از مصرف است را نمایندگی می‌کند. این ترجیحات در قالب تابع مطلوبیت سرانه طول عمر زیر نشان داده شده می‌شود که در آن ${\displaystyle e^{-\rho t}}$

${\displaystyle V={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\rho t}u(c(t))dt}$

تحلیل مدل

فرض می‌شود برنامه‌ریز مرکزی خیرخواهی وجود دارد که هدف وی حداکثرسازی مطلوبیت آحاد مردم است. آنچه باید انجام گیرد تعیین زنجیره‌ای از مصرف سرانه است که در هر لحظه از زمان نیز معادله جریان سرمایه، صدق کند.

${\displaystyle MaxV={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\rho t}u(c(t))dt}$

${\displaystyle s.t.\dot{k(t)}=f(k(t))-c(t)-\left(\delta +n+g\right)k(t)}$

لذا تابع همیلتونین ارزش حال به صورت زیر خواهد بود که بیشنه سازی آن معادل بیشنه سازی تابع هدف مشروط به قید مذکور است.

${\displaystyle H(t)=u(c(t))+\lambda \left(f(k(t))-c(t)-\left(\delta +n+g\right)k(t)\right)}$

با مشتق گیری نسبت به ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \lambda =u_c}$

با مشتق گیری نسبت به ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lambda \left(\acute{f(k)}-\left(n+g+\delta \right)\right)=\dot{-\lambda }+\lambda \rho }$

که اگر از این رابطه نسبت به زمان مشتق گرفته شود و با استفاده از رابطه قبل و ضرب و تقسیم می‌توان نشان داد.

${\displaystyle \frac{\dot{\lambda }}{\lambda }=\frac{\dot{c}}{c}\ast \frac{u(c{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}c}{u(c{)}^{\mathrm{\prime }}}}$

عبارت ${\displaystyle \frac{u(c{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}c}{u(c{)}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{1}{\eta }}$

${\displaystyle \frac{\dot{c}}{c}=\eta \left(\acute{f(k)}-\left(n+g+\delta +\rho \right)\right)}$

مفهوم اقتصادی رابطه دوم این است که چون با کاهش یک واحدی مصرف جاری و سرمایه‌گذاری آن می‌توان به مقدار بیشتری از تولید (امکان مصرفی) آتی، معادل ${\displaystyle \acute{f(k)}}$

${\displaystyle \dot{k(t)}=f(k(t))-c(t)-\left(\delta +n+g\right)k(t)}$

${\displaystyle \frac{\dot{c}}{c}=\eta \left(\acute{f(k)}-\left(n+g+\delta +\rho \right)\right)}$

تعادل بلند مدت و مسیر رشد تعادل

با توجه به ماهیت غیر خطی دستگاه معادلات، امکان به دست آوردن حل تحلیل آن وجود ندارد. به همین دلیل می‌بایست با در نطر گرفتن مقادیر تعادلی بلندمدت و جهت‌های حرکت دو متغیر، با استفاده از دیاگرام فاز، به ارزیابی متغییرهای حالت (مصرف) و جریان (سرمایه) پرداخته شود. شرایط تعادل بلندمدت عبارت است از وضعیتی که در آن متغییرهای درونزای مدل، یعنی مصرف و موجودی سرمایه میلی به تغییر نداشته باشند، به عبارتی دیگر تغییرات آنها برابر صفر باشد.

رابطه نشان می‌دهد که در وضعیت تعادل بلند مدت، تولید نهایی سرمایه سرانه معادل مجموع نرخ رجحان زمانی و نرخ رشد جمعیت و رشد تکنولوژی و استهلاک است.

${\displaystyle \dot{c}=0\Rightarrow \acute{f(k^{\star })}=n+g+\delta +\rho }$

${\displaystyle \dot{k}=0\Rightarrow f(k^{\star })=c+\left(n+g+\delta \right)k^{\star }}$

منحنی ${\displaystyle \dot{k}=0}$

1. مسعود نیلی؛ اقتصاد کلان پیشرفته، انتشارات دانشگاه صنعتی شریف، سال ۱۳۹۴
2. David Romer;Advanced Macroeconomics,fourth Edition,McGraw-Hill,2012
3. Jean Blanchard,Stanley Fisher;Lectures on Macroeconomics,first edition,The Mit press,1989
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey–Cass–Koopmans_model