مدل توماس-فرمی

برای یک حجم کوچک ΔV و برای اتم در حالت پایه، می‌توان یک حجم کروی در فضای تکانه V_f  را تا تکانهٔ فرمی p_f  پر کرد و در نتیجه داریم:

${\displaystyle V_f=\frac{4}{3}\pi p_f^3(\overrightarrow{r}).}$

که در آن ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{V}_{ph}=V_f\mathrm{\Delta }V=\frac{4}{3}\pi p_f^3(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }V.}$

الکترون‌ها در ΔV_ph  به مقدار ۲ الکترون بر h به‌طور همگون توزیع شده‌اند که h ثابت پلانک است. حالا تعداد الکترون‌ها در ΔV_ph  برابر است با:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{N}_{ph}=\frac{2}{h^3}\mathrm{\Delta }{V}_{ph}=\frac{8\pi }{3h^3}{p}_f^3(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }V.}$

تعداد الکترون‌ها در ΔV  برابر است با:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }N=n(\overrightarrow{r})\mathrm{\Delta }V}$

که در آن ${\displaystyle n(\overrightarrow{r})}$

${\displaystyle n(\overrightarrow{r})=\frac{8\pi }{3h^3}{p}_f^3(\overrightarrow{r}).}$

کسری از الکترون‌های ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$

با استفاده از عبارت کلاسیک انرژی جنبشی برای الکترونی با جرم m_e، انرٰی جنبشی بر واحد حجم در ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$

که در آن از رابطهٔ پیشین بین ${\displaystyle n(\overrightarrow{r})}$

${\displaystyle C_F=\frac{3h^2}{10m_e}{\left(\frac{3}{8\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}.}$

انتگرال‌گیری از انرژی بر واحد حجم ${\displaystyle t(\overrightarrow{r})}$

${\displaystyle T=C_F\int [n(\overrightarrow{r}){]}^{5/3}{d}^{3}r.}$

این نتیجه نشان می‌دهد که در مدل توماس-فرمی مجموع انرژی جنبشی الکترون‌ها می‌تواند تنها بر حسب چگالی الکترونی تابع فضا ${\displaystyle n(\overrightarrow{r}),}$

انرژی پتانسیل الکترون‌های یک اتم به دلیل جاذبهٔ هستهٔ اتم با بار مثبت چنین است:

${\displaystyle U_{eN}=\int n(\overrightarrow{r})V_N(\overrightarrow{r})d^{3}r}$

که در آن ${\displaystyle V_N(\overrightarrow{r})}$

${\displaystyle V_N(\overrightarrow{r})=\frac{-Z{e}^2}{r}.}$

انرژی پتانسیل الکترون‌ها به دلیل دافعهٔ الکترونی بین یکدیگر چنین است:

${\displaystyle U_{ee}=\frac{1}{2}{e}^2\int \frac{n(\overrightarrow{r})n(\overrightarrow{r}{}^{\prime })}{\left|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}{}^{\prime }\right|}{d}^{3}r{d}^3{r}^{\prime }.}$

انرژی کل الکترون‌ها از مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل آنها بدست می‌آید:

محدودیت این روش در اینست که تابع برداری انرژی جنبشی تنخمینی‌ست و انرژی تبادلی در آن نادیده گرفته‌شده‌است. همچنین این مدل توانایی توضیح پیوندهای مولکولی را نداشت و ازینرو تابع برداری انرژی جنبشی تصحیح‌شده بدینگونه معرفی‌شد:

• نظریه تابع چگالی

ویکی‌پدیای انگلیسی