مارپیچ طلایی

دستگاه مختصات قطبی برای اسپرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی است، ولی با رشد مخصوص b:

${\displaystyle r=a{e}^{b\theta }}$

یا

${\displaystyle \theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),}$

با عدد e مانند لگاریتم، a هست مثبت و ممتد مانند زمانی که bو θ طبیعی است زاویه قائمه ربع چرخش در جهت دیگر):

${\displaystyle e^{b{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}}=\phi }$

در نتیجه b می‌دهد

${\displaystyle b=\frac{\ln \phi }{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}}.}$

مقدار عددی b بستگی دارد به اینکه زاویه سمت راست به اندازه ۹۰ درجه باشد یا ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

زاویه می‌تواند در جهت دیگر باشد و نوشتن فرمول برای مقدار مطلق ${\displaystyle b}$

${\displaystyle |b|=\frac{\ln \phi }{90}=0.0053468}$

for θ in degrees;

${\displaystyle |b|=\frac{\ln \phi }{\pi /2}=0.306349}$

for θ in radians.

فرمول دیگر برای لگاریتم و اسپیرال طلائی به شرح زیر است:

${\displaystyle r=a{c}^{\theta }}$

جایی که ثابت c می دهد:

${\displaystyle c=e^b}$

که برای اسپرال طلائی c می‌دهد مقدار:

${\displaystyle c={\phi }^{\frac{1}{90}}\doteq 1.0053611}$

اگر θ به درجه اندازه‌گیری شود و

${\displaystyle c={\phi }^{\frac{2}{\pi }}\doteq \mathrm{1.358456.}}$

اگر θ اندازه‌گیری شود به رادیان.

اسپیرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.

• مارپیچ لگاریتمی
• اعداد فیبوناچی

• ویکی‌پدیا انگلیسی