ماتریس وندرموند

ماتریس وندرموند (به انگلیسی: Vandermonde matrix) در جبر خطی به ماتریس‌هایی گویند که دارای یک تصاعد هندسی در هر سطر به صورت زیر هست :

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}

یا می‌توان گفت : $V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}\,$

برای یک ماتریس مربع داریم : $\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).$

دلیل نام‌گذاری

این ماتریس به نام یابنده آن الکساندر تئوفیل وندرموند (به انگلیسی: Alexandre-Théophile Vandermonde) نام گذاری گشته است .

ویژگی

دترمینان ماتریس مربع بنا به فرمول لایب‌نیتز : $\det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma (i)-1},$

که S_n یک جایگشت از $\{1,\ldots ,n\}$

و

\operatorname {sgn}(\sigma )

توازن یک جایگشت σ هست. که اثبات می‌گردد برابر است با :

\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma (i)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})

کاربرد

این ماتریس در زمینه‌های زیر کاربرد دارد :

ماتریس وندرموند یک چند جمله‌ای را در یک مجموعه‌ای از نقاط ارزیابی می‌کند.این ماتریس ضرایب یک چند جمله‌ای

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}$

را به مقدارهایی که چندجمله‌ای در نقطه

\alpha _{i}.

اتفاق بیفتد تبدیل می‌کند. برای نقاط متمایز ، تبدیل از ضرایب به مقدارها تناظر یک به یک هست و به همین ترتیب مشکل درون یابی چند جمله‌ای قابل حل است.

در چند فرم از تصحیح خطای رید-سالامون
برای تبدیل گسسته فوریه
در فرمول فروبونیوس

منابع

Vandermonde matrix