ماتریس نرخ انتقال

در نظریه احتمال ماتریس نرخ انتقال (همچنین شناخته شده به عنوان یک ماتریس شدت یا ماتریس مولد بی‌نهایت کوچک) آرایه‌ای از اعداد است که نرخ حرکت بین حالات زنجیره‌ای مارکوف زمان پیوسته را توصیف می‌کند.

در ماتریس نرخ انتقال Q (گاهی اوقات A هم نوشته می‌شود) عنصر q_ij که (i ≠ j) نشان دهنده نرخ خروج از حالت i و رسیدن به حالت j می‌باشد. عناصر قطر اصلی ماتریس به صورت زیر تعریف می‌شوند:

q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}.

و بنابراین مجموع هر سطر از ماتریس صفر است.

تعریف

شرایط زیر در ماتریس Q یا (q_ij) برقرار می‌باشند:

$0\leq -q_{ii}<\infty$
$0\leq q_{ij}:\mathrm {for} \;i\neq j$
$\sum _{j}q_{ij}=0:\mathrm {for} \;\mathrm {all} \;i$

این تعریف را می‌توان به عنوان لاپلاسین گراف وزن دار و جهت دار که راس‌هایش متناظر با حالت‌های زنجیره مارکوف هستند، تفسیر نمود.

مثال

به عنوان مثال صف M/M/1 - در این مدل تعداد کارهای موجود در صف سیستم شمارش خواهند شد، که نرخ ورود کارها λ و نرخ سرویس دهی به کارها μ می‌باشد- دارای ماتریس نرخ انتقال زیر می‌باشد:

Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.

منابع

↑ Syski, R. (1992). Passage Times for Markov Chains. IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-950-9-i. ISBN 90-5199-060-X.
↑ Asmussen, S. R. (2003). "Markov Jump Processes". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.
↑ Trivedi, K. S.; Kulkarni, V. G. (1993). "FSPNs: Fluid stochastic Petri nets". Application and Theory of Petri Nets 1993. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 691. p. 24. doi:10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN 978-3-540-56863-6.
↑ Rubino, Gerardo; Sericola, Bruno (1989). "Sojourn Times in Finite Markov Processes". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 26 (4): 744–756. JSTOR 3214379.
↑ Norris, J. R. (1997). "Markov Chains". doi:10.1017/CBO9780511810633. ISBN 978-0-511-81063-3.

[1] Syski, R. (1992). Passage Times for Markov Chains. IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-950-9-i. ISBN 90-5199-060-X.

[2] Asmussen, S. R. (2003). "Markov Jump Processes". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 51. pp. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.

[3] Trivedi, K. S.; Kulkarni, V. G. (1993). "FSPNs: Fluid stochastic Petri nets". Application and Theory of Petri Nets 1993. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 691. p. 24. doi:10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN 978-3-540-56863-6.

[4] Rubino, Gerardo; Sericola, Bruno (1989). "Sojourn Times in Finite Markov Processes". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 26 (4): 744–756. JSTOR 3214379.

[5] Norris, J. R. (1997). "Markov Chains". doi:10.1017/CBO9780511810633. ISBN 978-0-511-81063-3.